插值多項式的牛頓法
1.為何需要牛頓法？
使用Lagrange插值法不具備繼承性。當求好經過\(({x_0},{y_0})-({x_n},{y_n})\)共n+1個點的插值曲線時候，如果再增加一個點，由Lagrange插值法通式$$\sum_{k=0}^{n}\frac{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x-x_i)}{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x_k-x_i)}y_k$$可以知道，當再增加一個點時候,Lagrange 多項式還要重新計算以確定系數。
2.牛頓插值多項式
由線性代數的知識可以知道，任何n次多項式都可以表示成1,\((x-x_0)\)，\((x-x_0)(x-x_1)\)，\({\ldots}\)，\((x-x_0)(x-x_1){\ldots}(x-x_{n-2})(x-x_{n-1})\) 的線性組合形式，牛頓插值多項式正是基於這一點。\(N_n\)(x)=\(a_0\)+\(a_1\)(\(x-x_0\))+\(a_2\)(\(x-x_0\))(\(x-x_1\))+\({\ldots}\)+\(a_n(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2){\ldots}(x-x_{n-1})\)，其中\(a_k\)為插值多項式的待定系數。(一下關於牛頓插值多項式系數計算是基於各x結點的等距條件)
3.牛頓向前差分公式
假設\(x=x_k,\)則此時\(y=y_k\)，這樣，若\(a_0,a_1,a_2\dots\)則可以求出\(a_k\)。因為\(N(x_k)=y_k\)，而對於含有\(a_{k+1}，a_{k+2}\dots a_{n}\)項代入\(x_k\)后值為0。那么所求\(a_k\)=$$\frac{y_k-()}{\prod_{i=0}^{k-1}x_k-x_i}$$，在假設\(x_k\)為等距結點的時候，\(x_k\)可以表示為\(x_k=x_0+kh\)，其中h為步長。那么所求\(a_k\)近似可表示為\(a_k=\frac{y_k-()}{k!h^k}\)。
定義 f(x)在\(x_k\)處的向前差分為\(\Delta y=y_{k+1}-y_k\)，相應的我們可以定義\(\Delta y\)的差分，也就是y的二階向前差分\(\Delta^{2} y_k=\Delta y_{k+1}-\Delta y_k\)； 這樣，類似我們可以定義y的m階向前差分\(\Delta ^{m} y_k = \Delta ^{m-1} y_{k+1} -\Delta ^{m-1} y_k\)。在等距結點\(x=x_0+kh\) 的條件下我們可以利用向前差分來導出系數的計算。
4.牛頓向前差分公式系數計算
由\(N_n(x_0)=y_0\)可以得到\(a_0\)的表達式為\(a_0=y_0\)，這樣我們可以定義y的零階向前差分\(\Delta ^0 y=y0\)，這樣利用3中推出的\(a_k\)表達式可以將這個結果化為這樣的形式\(a_0=\frac{\Delta^0 y_0}{0!h^0}\)。我們再來看\(a_1\)的表達式。因為\(N_n(x_1)=y_1=a_0+a_1(x_1-x_0)\)，而\(a_0\)為\(y_0\)，則\(a_1=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{\Delta^1 y_0}{1!h^1}\)。同樣的，我們來計算\(a_2\)的表達式。\(N_n(x_2)=a_0+a_1(x_2-x_0)+a_2(x2-x_0)(x_2-x_1)=y_2\)，而又因為\(x_2-x_0=2h,a1\)可以表示成\(\frac{\Delta y_0}{h}\)，因而可以將\(a_2\)表示為\(a_2=\frac{y2-y0-\frac{\Delta y_0}{h}2h}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{y_2-y_0-2(y_1-y_0)}{2!h^2}=\frac{(y_2-y_1)-(y_1-y_0)}{2!h^2}=\frac{\Delta^2 y_0}{2!h^2}\)，這樣規律就很明顯了。事實上，通過計算我們可以得到\(a_k\)的表達式為\(a_k=\frac{\Delta ^k y_0}{k!h^k}(k=0,1，\cdots {n-1},{n})\)，於是我們可以將牛頓多項式完整的表達出來了---\(N_n(x)=\frac{\Delta ^0 y_0}{0!h^0}+\frac{\Delta ^1 y_0}{1!h^1}(x-x_0)+\frac{\Delta ^2 y_0}{2!h^2}(x-x_0)(x-x_1)+\cdots+\frac{\Delta ^k y_0}{k!h^k}(x-x_0)(x-x1)\cdots(x-x_{k-1})+\)\(\cdots+\frac{\Delta ^n y_0}{n!h^n}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})\)。這樣我們就得到了牛頓插值公式的完整表達，通過計算\(y_0\)的n階向前差分就可以得到結果了。
5.如何再化簡?
我們再x等距取樣條件下得到了牛頓插值多項式的表達式，同樣的，可以充分利用這個條件。也就是設x=\(x_0+th\)，其中h為步長。這樣$$\sum_{i=0}^{k-1}(x-x_i)=th(t-1)h\cdots*(t-k+1)h=A_t^kh^k$$，而系數\(a_k=\frac{\Delta ^k y_0}{k!h^k}\)，所要整合式子可以得到\(N_n(x_0+th)=y_0+t\Delta y_0+\frac{t(t-1)\Delta ^2 y_0}{2!}+\cdots+\frac{t(t-1)\cdots(t-n+1\Delta ^ny_0)}{n!}\)=\(\sum_{k=0}^{n}\frac{A_t^k \Delta ^k y_0}{k!}\)
最后說明
這里只是利用了等距取點條件計算的牛頓插值公式表達式，實際情況下取的點不一定等距，因此，在不等距的條件下相應還要計算方法（后面我會逐漸整理的）。除此之外，還可以用向后差分，中心差分法，限於時間，往后再整理了。