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樹的基本概念以及java實現二叉樹

本文轉載自   查看原文   2019-09-19 18:20   323    算法與數據結構

樹具有的特點有：

（1）每個結點有零個或多個子結點

（2）沒有父節點的結點稱為根節點

（3）每一個非根結點有且只有一個父節點

（4）除了根結點外，每個子結點可以分為多個不相交的子樹。

樹的基本術語有：

若一個結點有子樹，那么該結點稱為子樹根的“雙親”，子樹的根稱為該結點的“孩子”。有相同雙親的結點互為“兄弟”。一個結點的所有子樹上的任何結點都是該結點的后裔。從根結點到某個結點的路徑上的所有結點都是該結點的祖先。

結點的度：結點擁有的子樹的數目

葉子結點：度為0的結點

分支結點：度不為0的結點

樹的度：樹中結點的最大的度

層次：根結點的層次為1，其余結點的層次等於該結點的雙親結點的層次加1

樹的高度：樹中結點的最大層次

森林：0個或多個不相交的樹組成。對森林加上一個根，森林即成為樹；刪去根，樹即成為森林。

二叉樹的性質

a、在非空二叉樹的第i層上，至多有2^(i-1)個結點
假設這是一棵滿二叉樹，則1、2、3層分別有1、2、4個結點，滿足以上性質

b、深度為k的二叉樹至多有2^k-1個結點
假設這是一棵滿二叉樹，則4層有15個結點，滿足以上的性質

c、對任何一顆二叉樹T，如果其終端結點數為n0,度為2的結點數為n2，則n0 = n2+1
假設二叉樹中度為1的結點數為n1，因為二叉樹只有度為1，2，0的結點，所以有n=n0+n1+n2。再看二叉樹分支條數e，因為二叉樹除了根結點沒有父結點，進入它的邊數為0之外，其他每一結點都有一個且僅有一個父結點，進入它們的邊數均為1，故二叉樹中總的邊數為e=n-1=n0+n1+n2-1。又由於每個度為2的結點發出2條邊，每個度為1的結點發出1條邊，每個度為0的結點發出0條邊，因此總的邊數e=2n2+1n1+0n0=2n2+n1,由以上兩式可以得出n0= n2+1

上圖中結點總數是10，n2(1、2、3、4)為4，n1(5)為1，n0(6、7、8、9、10)為5

d、具有n個結點的完全二叉樹深度為⌈log2(n+1)⌉，對以2為底n+1對數進行向上取整(⌈⌉是向上取整符號)
可以由性質2得出，深度為k的完全二叉樹最多有 n \leq 2{k}-1個結點，最少有2{k-1}-1個，因此：

2^{k-1}-1 < n \leq 2^{k}-1

2^{k-1} < n+1 \leq 2^{k}

k-1 < log_{2}(n+1) \leq k

因為log_{2}(n+1)介於 K-1 和 K之間且不等於 K-1，深度又只能是整數，所以有⌈log_{2}(n+1)⌉

e、如果有一顆有n個結點的完全二叉樹的結點按層次序編號，對任一層的結點i（1<=i<=n）有
如果i=1，則結點是二叉樹的根，無雙親，如果i>1，則其雙親結點為⌊i/2⌋，向下取整
如果2i>n那么結點i沒有左孩子，否則其左孩子為2i
如果2i+1>n那么結點沒有右孩子，否則右孩子為2i+1
若結點i為奇數，且i!=1，它處於右兄弟位置，則它的左兄弟結點i-1
若結點i為偶數，且i!=n，它處於左兄弟位置，則它的右兄弟為結點i+1

https://github.com/mcrwayfun/java-data-structure/blob/master/doc/source/tree/樹.md#23-二叉樹的性質

遞歸實現二叉樹的遍歷

前序遍歷

基本思想：若二叉樹為空，則返回。否則從根結點開始，優先訪問根結點，再前序遍歷左子樹，前序遍歷右子樹，即根——左——右

class TreeNode{

	int data;
	TreeNode leftChild;
	TreeNode rightChild;
}

 /**
     * 前序遍歷（中左右）
     * output:A、B、D、G、H、C、E、I、F
     * @param root
     */
    public void preOrder(TreeNode root) {

        if (root == null) {
            return;
        } else {
            System.out.println("preOrder data:" + root.getData());
            preOrder(root.leftChild);
            preOrder(root.rightChild);
        }
    }

中序遍歷

基本思想：若二叉樹為空，則返回。否則優先中序遍歷左子樹，再訪問根結點，再后序遍歷右子樹，即左——根——右

 /**
     * 中序遍歷（左中右）
     * output:G、D、H、B、A、E、I、C、F
     * @param root
     */
    public void midOrder(TreeNode root) {

        if (root == null) {
            return;
        } else {
            midOrder(root.leftChild);
            System.out.println("midOrder data:" + root.getData());
            midOrder(root.rightChild);
        }
    }

后序遍歷

基本思想：若二叉樹為空，則返回。否則優先后序遍歷左子樹，再后序遍歷右子樹，最后訪問根結點，，即左——右——根

 /**
     * 后序遍歷（左右中）
     * output:G、H、D、B、I、E、F、C、A
     * @param root
     */
    public void postOrder(TreeNode root){

        if (root == null) {
            return;
        } else {
            postOrder(root.leftChild);
            postOrder(root.rightChild);
            System.out.println("postOrder data:" + root.getData());
        }
    }

滿二叉樹、完全二叉樹和二叉查找樹、 2-3查找樹

1、滿二叉樹

定義：高度為h，並且由2h-1個結點組成的二叉樹，稱為滿二叉樹

2、完全二叉樹

定義：一棵二叉樹中，只有最下面兩層結點的度可以小於2，並且最下層的葉結點集中在靠左的若干位置上，這樣的二叉樹稱為完全二叉樹。

特點：葉子結點只能出現在最下層和次下層，且最下層的葉子結點集中在樹的左部。顯然，一棵滿二叉樹必定是一棵完全二叉樹，而完全二叉樹未必是滿二叉樹。

3、二叉查找樹

定義：二叉查找樹又被稱為二叉搜索樹。設x為二叉查找樹中的一個結點，x結點包含關鍵字key，結點x的key值計為key[x]。如果y是x的左子樹中的一個結點，則key[y]<=key[x]；如果y是x的右子樹的一個結點，則key[y]>=key[x]

在二叉查找樹種：

（1）若任意結點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值。

（2）任意結點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值。

（3）任意結點的左、右子樹也分別為二叉查找樹。

（4）沒有鍵值相等的結點。

二叉查找樹BST——Java實現
詳細圖文說明

https://blog.csdn.net/javazejian/article/details/53727333

2-3查找樹

  1. 對於2節點，該節點保存一個key及對應value，以及兩個指向左右節點的節點，左節點也是一個2-3節點，左節點所有的值都比該節點的key要小，右節點也是一個2-3節點，所有的值比該節點的key要大。

  2. 對於3節點，該節點保存兩個key及對應value，以及三個指向左中右的節點。左節點也是一個2-3節點，所有的值均比兩個key中的最小的key還要小；中間節點也是一個2-3節點，中間節點的key值在兩個跟節點key值之間；右節點也是一個2-3節點，節點的所有key值比兩個key中的最大的key還要大。

平衡二叉樹 、 紅黑樹、替罪羊樹、Treap、伸展樹

平衡二叉樹是一種特殊的二叉搜索樹，在按順序向插入二叉搜索樹中插入值，最后會形成一個類似鏈表形式的樹，而我們設計二叉搜索樹的初衷，顯然是看中了它的查找速度與它的高度成正比，如果每一顆二叉樹都像鏈表一樣，那就沒什么意思了，所以就設計出來了平衡二叉樹，相對於二叉搜索樹，平衡二叉樹的一個特點就是，在該樹中，任意一個節點，它的左右子樹的差的絕對值一定小於2。

1.本身首先是一棵二叉搜索樹。

2.帶有平衡條件：每個結點的左右子樹的高度之差的絕對值（平衡因子）最多為1。

也就是說，AVL樹，本質上是帶了平衡功能的二叉查找樹（二叉排序樹，二叉搜索樹）。

AVL樹的查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O(logn)。
如果在AVL樹中插入或刪除節點后，使得高度之差大於1。此時，AVL樹的平衡狀態就被破壞，它就不再是一棵平衡二叉樹；為了讓它重新維持在一個平衡狀態，就需要對其進行旋轉處理

平衡二叉樹的旋轉

左-左型：做右旋
右-右型：做左旋
左-右型：先做左旋，后做右旋
右-左型：先做右旋，后做左旋

這里假設結點X是失衡點，它必須重新恢復平衡，由於任意結點的孩子結點最多有兩個，而且導致失衡的必要條件是X結點的兩棵子樹高度差為2(大於1)，因此一般只有以下4種情況可能導致X點失去平衡：
① 在結點X的左孩子結點的左子樹中插入元素
② 在結點X的左孩子結點的右子樹中插入元素
③ 在結點X的右孩子結點的左子樹中插入元素
④ 在結點X的右孩子結點的右子樹中插入元素
以上4種情況，其中第①情況和第④情況是對稱的，可以通過單旋轉來解決，而第②種情況和第③情況是對稱的，需要雙旋轉來解決。

左左單旋轉(LL)需要右旋轉

右右單旋轉(RR)進行左旋轉

https://blog.csdn.net/javazejian/article/details/53892797
https://www.jb51.net/article/154428.htm
https://blog.csdn.net/cqulun123/article/details/80399371
https://blog.csdn.net/m1179457922/article/details/81745013
https://blog.csdn.net/genius_wolf/article/details/85267253
https://www.jianshu.com/p/4f5eca987990
https://www.cnblogs.com/qm-article/p/9349681.html
https://blog.csdn.net/m0_38036210/article/details/100517125

《劍指offer》
https://www.cnblogs.com/mingyueanyao/p/10322643.html

https://algs4.cs.princeton.edu/33balanced/
http://pages.cs.wisc.edu/~ealexand/cs367/NOTES/AVL-Trees/index.html
https://visualgo.net/en/bst

紅黑樹

https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/RedBlack.html
平衡樹（AVL）是為了解決 二叉查找樹（BST）退化為鏈表的情況。
紅黑樹（RBT）是為了解決 平衡樹 在刪除等操作需要頻繁調整的情況。

紅黑樹5個特征

紅黑樹是每個節點都帶有顏色屬性的二叉查找樹，顏色或紅色或黑色。在二叉查找樹強制一般要求以外，對於任何有效的紅黑樹我們增加了如下的額外要求:

  1. 節點是紅色或黑色。

  2. 根節點是黑色。

  3. 每個葉節點（NIL節點，空節點）是黑色的。

  4. 每個紅色節點的兩個子節點都是黑色。(從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色節點)

  5. 從任一節點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色節點。

紅黑樹是一種具有紅色和黑色鏈接的平衡查找樹，同時滿足：

紅色節點向左傾斜
一個節點不可能有兩個紅色鏈接
整個樹完全黑色平衡，即從根節點到所以葉子結點的路徑上，黑色鏈接的個數都相同。
如果我們將紅色的連線水平繪制，那么他鏈接的兩個2-node節點就是2-3樹中的一個3-node節點了。

紅黑樹的應用比較廣泛，主要是用它來存儲有序的數據，它的時間復雜度是O(logn)，效率非常之高。
例如，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虛擬內存的管理，都是通過紅黑樹去實現的。

https://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-Red-Black-Tree.html
https://blog.csdn.net/eson_15/article/details/51144079
https://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6105630

平衡二叉樹紅黑樹兩者的區別

1、紅黑樹並不追求“完全平衡”——它只要求部分地達到平衡要求，降低了對旋轉的要求，從而提高了性能。紅黑樹能夠以O(log2 n) 的時間復雜度進行搜索、插入、刪除操作。此外，由於它的設計，任何不平衡都會在三次旋轉之內解決。當然，還有一些更好的，但實現起來更復雜的數據結構 能夠做到一步旋轉之內達到平衡，但紅黑樹能夠給我們一個比較“便宜”的解決方案。紅黑樹的算法時間復雜度和AVL相同，但統計性能比AVL樹更高。當然，紅黑樹並不適應所有應用樹的領域。如果數據基本上是靜態的，那么讓他們待在他們能夠插入，並且不影響平衡的地方會具有更好的性能。如果數據完全是靜態的，例如，做一個哈希表，性能可能會更好一些。在實際的系統中，例如，需要使用動態規則的防火牆系統，使用紅黑樹而不是散列表被實踐證明具有更好的伸縮性，典型的用途是實現關聯數組。

2、AVL樹是最先發明的自平衡二叉查 找樹。在AVL樹中任何節點的兩個兒子子樹的高度最大差別為一，所以它也被稱為高度平衡樹。查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O(log n)。增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。

B樹、B_樹、B+樹

B樹（B-tree）是一種樹狀數據結構，它能夠存儲數據、對其進行排序並允許以O(log n)的時間復雜度運行進行查找、順序讀取、插入和刪除的數據結構。B樹，概括來說是一個節點可以擁有多於2個子節點的二叉查找樹。與自平衡二叉查找樹不同，B-樹為系統最優化大塊數據的讀和寫操作。B-tree算法減少定位記錄時所經歷的中間過程，從而加快存取速度。普遍運用在數據庫和文件系統。”

定義

B 樹可以看作是對2-3查找樹的一種擴展，即他允許每個節點有M-1個子節點。

根節點至少有兩個子節點
每個節點有M-1個key，並且以升序排列
位於M-1和M key的子節點的值位於M-1 和M key對應的Value之間
其它節點至少有M/2個子節點

https://blog.csdn.net/u012124438/article/details/78109466
https://article.itxueyuan.com/wy3Bon
https://segmentfault.com/a/1190000020416577?utm_source=tag-newest
https://www.iteye.com/blog/uule-2429508
https://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-B-Tree-and-B-Plus-Tree.html

B+樹

B+樹是對B樹的一種變形樹，它與B樹的差異在於：

有k個子結點的結點必然有k個關鍵碼；
非葉結點僅具有索引作用，跟記錄有關的信息均存放在葉結點中。
樹的所有葉結點構成一個有序鏈表，可以按照關鍵碼排序的次序遍歷全部記錄。

二叉樹基本知識

https://blog.csdn.net/qingtian_1993/article/details/80637917
https://segmentfault.com/a/1190000014743964
https://github.com/mcrwayfun/java-data-structure/blob/master/doc/source/tree/樹.md

https://blog.csdn.net/m0_38036210/article/category/9225624


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