一元二次方程易錯點
概述
中考的一元二次方程在數學層面上很簡單，但由於其范圍的限定，有許多的易錯點。
易錯點
1. 判定
要求：①一個未知數②最高二次③整式方程（整式方程看化簡后的次數，分式或根式看化簡前的次數）
根據方程次數求參數值
關於\(x\)的方程\(\displaystyle (m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-1=0\)是一元一次方程，則【\(m=\) \(0或-1\) 】
對於不定次項，要考慮不存在（系數為0）和1次或0次的情況
2. 解方程
注意
- 千萬不能寫方程無解，
- 二次方程只可能無實根方程的兩個解必須寫在一行（換行的“，”不能表示或的關系）
直接開平方法
\((3x-5)^2=a\)
當\(a<0\)時，方程無實根
當\(a=0\)時，\(3x-5=0\)（一定要單獨考慮0的情況，算出來的結果和開方的不同）
\(\displaystyle x_1=x_2=\frac{5}{3}\)（化成一次方程依然有兩個解）
當\(a>0\)時，…………
配方法
配方說明\(\neq0\)
先證明一定\(>0\)或\(<0\)，再另起一行說\(\neq0\)
公式法
求根公式
當\(b^2-4ac\geq0\)時，\(\displaystyle x=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2}\)
當\(b^2-4ac<0\)時，方程無實根
整體法
已知\(x^2+xy-y^2=0\)，求\(\displaystyle \frac{x}{y}(y\neq0)\)
將\(\displaystyle \frac{x}{y}\)看作整體
\(\displaystyle \frac{x^2}{y^2}+\frac{x}{y}-1=0\)
\(\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)將\(y\)看作參數暴算
\(\displaystyle x=\frac{-y\pm\sqrt{5}y}{2}\)
\(\displaystyle ∴\frac{x}{y}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
使用整體法（但題目沒有限制定義域）之后，要代回檢驗
已知\(\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=0\)，求\(\displaystyle x+\frac{1}{x}\)的值
\(\displaystyle (x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-2=0\)
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}=……=\frac{-1\pm3}{2}\)
當\(\displaystyle x+\frac{1}{x}=-2\)時，……
\(x_1=x_2=-1\)
當\(\displaystyle x+\frac{1}{x}=1\)時，……
\(b^2-4ac=(-1)^2-4<0\)無實根，舍去
綜上，……\(x^2-|x|-2=0\)
\(|x|^2-|x|-2=0\)
\((|x|-2)(|x|+1)=0\)\(|x|取2\)
\(x_1=2,x_2=-2\)
討論根的情況
一定要考慮\(a=0\)的情況，分類討論
韋達定理
內容
對\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)，在\(b^2-4ac\geq0\)時，有\(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a} , x_1x_2=\frac{c}{a}\)
當方程中有字母系數時，要判根，全是數字系數就不用
已知關於\(x\)的方程\(x^{2}+(2 k-1) x+k^{2}-1=0\)的兩根的平方和為\(9\)，求\(k\)的值
①
\[b^2-4ac=(2k-1)^2-4(k^2-1)=-4k+5\geq 0 \]\[k\leq\frac{5}{4} \]②
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \]\[=(2k-1)^2-2(k^2-1) \]\[=4k^2-4k+1-2k^2+2 \]\[=2k^2-4k+3=9 \]\[2k^2-4k-6=0 \]\[(k+1)(k-3)=0 \]\[k_1=-1,k_2=3>\frac54(\text{舍}) \]
“是根”（××是××的根）
代入法
整體法
用大除法把已知代數式給除掉（然后替換成常量\(\times\)另一個代數式）將含有字母的部分因式分解，轉化為已知式的積或含有為0的式子的積（有一定的思維難度）
韋達定理
前提：齊次（不齊次要先降次）
可以通過代入原方程的部分，使方程的部分項降次，從而形成其次的狀態，然后因式分解+韋達定理即可
應用
根據題干列方程
所有數字都從題干中來注意實際情況，一定要代回，注意題干的隱含條件（“最簡二次根式”，一定要檢驗最簡）
銷售問題
計算量很大，有一定的難度注意題干中說明的目的“為了盡快減少庫存”“為了使客戶得到實惠”
南京的學生計算能力較差，於是口頭規定所有大數據方程可以十字相乘，千萬不要做無錫的計算題，他們有計算器。