聚類算法

 Infi-chu:

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一、簡介

1.聚類算法的應用領域

• 用戶畫像，廣告推薦，Data Segmentation，搜索引擎的流量推薦，惡意流量識別
• 基於位置信息的商業推送，新聞聚類，篩選排序
• 圖像分割，降維，識別；離群點檢測；信用卡異常消費；發掘相同功能的基因片段

2.聚類算法

一種典型的無監督學習算法，主要用於將相似的樣本自動歸到一個類別中。

在聚類算法中根據樣本之間的相似性，將樣本規划到不同的類別中，對於不同的相似度計算方法，會得到不同的聚類結果。

3.聚類算法與分類算法的區別

聚類算法是無監督學習算法，

分類算法屬於監督學習算法。

 

二、聚類算法api

1.api

sklearn.cluster.KMeans(n_clusters=8)

• 參數:
  • n_clusters:開始的聚類中心數量
    • 整型，缺省值=8，生成的聚類數，即產生的質心（centroids）數。
• 方法:
  • estimator.fit(x)
  • estimator.predict(x)
  • estimator.fit_predict(x)
    • 計算聚類中心並預測每個樣本屬於哪個類別,相當於先調用fit(x),然后再調用predict(x)

 

三、聚類算法實現流程

1.步驟

• 隨機設置K個特征空間內的點作為初始的聚類中心
• 對於其他每個點計算到K個中心的距離，未知的點選擇最近的一個聚類中心點作為標記類別
• 重新計算每個聚類的新中心（平均值）
• 如果計算得出的新中心與原點中心一樣（質心不在移動），則結束，否則重新進行第二步的過程

2.總結

流程:

• 事先確定常數K，常數K意味着最終的聚類類別數;
• 首先隨機選定初始點為質心，並通過計算每一個樣本與質心之間的相似度(這里為歐式距離)，將樣本點歸到最相似的類中，
• 接着，重新計算每個類的質心(即為類中心)，重復這樣的過程，直到質心不再改變，
• 最終就確定了每個樣本所屬的類別以及每個類的質心。

注意:

• 由於每次都要計算所有的樣本與每一個質心之間的相似度，故在大規模的數據集上，K-Means算法的收斂速度比較慢。

 

四、模型評估

1.誤差平方和（SSE\The sum of squares due to error）

eg.

如圖中數據（-0.2,0.4,-0.8,1.3-0.7，均為真實值和預測值的差）

 

 

 在K-means中的應用：

 

 

 公式各部分內容：

 

 

 【注】

上圖中: k=2

• SSE圖最終的結果,對圖松散度的衡量.(eg: SSE(左圖)<SSE(右圖))

• SSE隨着聚類迭代,其值會越來越小,直到最后趨於穩定
• 如果質心的初始值選擇不好,SSE只會達到一個不怎么好的局部最優解.

2.“肘”方法（Elbow method）——K值確定

（1）對於n個點的數據集，迭代計算k from 1 to n，每次聚類完成后計算每個點到其所屬的簇中心的距離的平方和；

（2）平方和是會逐漸變小的，直到k==n時平方和為0，因為每個點都是它所在的簇中心本身。

（3）在這個平方和變化過程中，會出現一個拐點也即“肘”點，下降率突然變緩時即認為是最佳的k值。

在決定什么時候停止訓練時，肘形判據同樣有效，數據通常有更多的噪音，在增加分類無法帶來更多回報時，我們停止增加類別。

3.輪廓系數法（Silhouette Coefficient）

結合了聚類的凝聚度（Cohesion）和分離度（Separation），用於評估聚類的效果：

 

 

 目的：

內部距離最小化，外部距離最大化

 

 

 

計算樣本i到同簇其他樣本的平均距離ai，ai 越小樣本i的簇內不相似度越小，說明樣本i越應該被聚類到該簇。

計算樣本i到最近簇Cj 的所有樣本的平均距離bij，稱樣本i與最近簇Cj 的不相似度，定義為樣本i的簇間不相似度：bi =min{bi1, bi2, ..., bik}，bi越大，說明樣本i越不屬於其他簇。

求出所有樣本的輪廓系數后再求平均值就得到了平均輪廓系數。

平均輪廓系數的取值范圍為[-1,1]，系數越大，聚類效果越好。

簇內樣本的距離越近，簇間樣本距離越遠

eg.

下圖是500個樣本含有2個feature的數據分布情況，我們對它進行SC系數效果衡量：

 

 

 

n_clusters = 2 The average silhouette_score is : 0.7049787496083262

n_clusters = 3 The average silhouette_score is : 0.5882004012129721

n_clusters = 4 The average silhouette_score is : 0.6505186632729437

n_clusters = 5 The average silhouette_score is : 0.56376469026194

n_clusters = 6 The average silhouette_score is : 0.4504666294372765

n_clusters 分別為 2，3，4，5，6時，SC系數如下，是介於[-1,1]之間的度量指標：

每次聚類后，每個樣本都會得到一個輪廓系數，當它為1時，說明這個點與周圍簇距離較遠，結果非常好，當它為0，說明這個點可能處在兩個簇的邊界上，當值為負時，暗含該點可能被誤分了。

從平均SC系數結果來看，K取3，5，6是不好的，那么2和4呢？

k=2的情況：

 

 

 k=4的情況：

 

 

 

n_clusters = 2時，第0簇的寬度遠寬於第1簇；

n_clusters = 4時，所聚的簇寬度相差不大，因此選擇K=4，作為最終聚類個數。

4.CH系數（Calinski-Harabasz Index）

Calinski-Harabasz：

類別內部數據的協方差越小越好，類別之間的協方差越大越好（換句話說：類別內部數據的距離平方和越小越好，類別之間的距離平方和越大越好），

這樣的Calinski-Harabasz分數s會高，分數s高則聚類效果越好。

 

 

 

tr為矩陣的跡, B_k為類別之間的協方差矩陣，W_k為類別內部數據的協方差矩陣;

m為訓練集樣本數，k為類別數。

 

 

 

使用矩陣的跡進行求解的理解：

矩陣的對角線可以表示一個物體的相似性

在機器學習里，主要為了獲取數據的特征值，那么就是說，在任何一個矩陣計算出來之后，都可以簡單化，只要獲取矩陣的跡，就可以表示這一塊數據的最重要的特征了，這樣就可以把很多無關緊要的數據刪除掉，達到簡化數據，提高處理速度。

CH需要達到的目的：

​ 用盡量少的類別聚類盡量多的樣本，同時獲得較好的聚類效果。

5.總結

1. 肘部法

​ 下降率突然變緩時即認為是最佳的k值

2. SC系數

​ 取值為[-1, 1]，其值越大越好

3. CH系數

​ 分數s高則聚類效果越好

 

五、算法優化

1.k-means算法優點

​ 1.原理簡單（靠近中心點），實現容易

​ 2.聚類效果中上（依賴K的選擇）

​ 3.空間復雜度o(N)，時間復雜度o(IKN)

【注】

N個樣本點個數，K個中心點個數，I為迭代次數

2.k-means算法缺點

​ 1.對離群點，噪聲敏感 （中心點易偏移）

​ 2.很難發現大小差別很大的簇及進行增量計算

​ 3.結果不一定是全局最優，只能保證局部最優（與K的個數及初值選取有關）

3.Canopy算法配合初始聚類

（1）流程

 

 

 （2）Canopy優缺點

優點：

​ 1.Kmeans對噪聲抗干擾較弱，通過Canopy對比，將較小的NumPoint的Cluster直接去掉有利於抗干擾。

​ 2.Canopy選擇出來的每個Canopy的centerPoint作為K會更精確。

​ 3.只是針對每個Canopy的內做Kmeans聚類，減少相似計算的數量。

缺點：

​ 1.算法中 T1、T2的確定問題 ，依舊可能落入局部最優解

4.K-means++

 

 

 

kmeans++目的，讓選擇的質心盡可能的分散

如下圖中，如果第一個質心選擇在圓心，那么最優可能選擇到的下一個點在P(A)這個區域（根據顏色進行划分）

 

 

 5.二分K-means

實現流程:

• 1.所有點作為一個簇

• 2.將該簇一分為二

• 3.選擇能最大限度降低聚類代價函數（也就是誤差平方和）的簇划分為兩個簇。

• 4.以此進行下去，直到簇的數目等於用戶給定的數目k為止。

 

 

 

隱含的一個原則

因為聚類的誤差平方和能夠衡量聚類性能，該值越小表示數據點越接近於他們的質心，聚類效果就越好。所以需要對誤差平方和最大的簇進行再一次划分，因為誤差平方和越大，表示該簇聚類效果越不好，越有可能是多個簇被當成了一個簇，所以我們首先需要對這個簇進行划分。

二分K均值算法可以加速K-means算法的執行速度，因為它的相似度計算少了並且不受初始化問題的影響，因為這里不存在隨機點的選取，且每一步都保證了誤差最小

6.K-medoids（k-中心聚類算法）

K-medoids和K-means是有區別的，不一樣的地方在於中心點的選取

• K-means中，將中心點取為當前cluster中所有數據點的平均值，對異常點很敏感!

• K-medoids中，將從當前cluster 中選取到其他所有（當前cluster中的）點的距離之和最小的點作為中心點。

 

 

 

算法流程：

　　 ( 1 )總體n個樣本點中任意選取k個點作為medoids

　　 ( 2 )按照與medoids最近的原則，將剩余的n-k個點分配到當前最佳的medoids代表的類中

　　 ( 3 )對於第i個類中除對應medoids點外的所有其他點，按順序計算當其為新的medoids時，代價函數的值，遍歷所有可能，選取代價函數最小時對應的點作為新的medoids

　　 ( 4 )重復2-3的過程，直到所有的medoids點不再發生變化或已達到設定的最大迭代次數

　　 ( 5 )產出最終確定的k個類

k-medoids對噪聲魯棒性好。

例：當一個cluster樣本點只有少數幾個，如（1,1）（1,2）（2,1）（1000,1000）。其中（1000,1000）是噪聲。如果按照k-means質心大致會處在（1,1）（1000,1000）中間，這顯然不是我們想要的。這時k-medoids就可以避免這種情況，他會在（1,1）（1,2）（2,1）（1000,1000）中選出一個樣本點使cluster的絕對誤差最小，計算可知一定會在前三個點中選取。

k-medoids只能對小樣本起作用，樣本大，速度就太慢了，當樣本多的時候，少數幾個噪音對k-means的質心影響也沒有想象中的那么重，所以k-means的應用明顯比k-medoids多。

7.Kernel K-means

kernel k-means實際上，就是將每個樣本進行一個投射到高維空間的處理，然后再將處理后的數據使用普通的k-means算法思想進行聚類。

 

 

 8.ISODATA

類別數目隨着聚類過程而變化；

對類別數會進行合並，分裂，

“合並”：（當聚類結果某一類中樣本數太少，或兩個類間的距離太近時）

“分裂”（當聚類結果中某一類的類內方差太大，將該類進行分裂）

9.Mini Batch K-means

適合大數據的聚類算法

大數據量是什么量級？通常當樣本量大於1萬做聚類時，就需要考慮選用Mini Batch K-Means算法。

Mini Batch KMeans使用了Mini Batch（分批處理）的方法對數據點之間的距離進行計算。

Mini Batch計算過程中不必使用所有的數據樣本，而是從不同類別的樣本中抽取一部分樣本來代表各自類型進行計算。由於計算樣本量少，所以會相應的減少運行時間，但另一方面抽樣也必然會帶來准確度的下降。

該算法的迭代步驟有兩步：

(1)從數據集中隨機抽取一些數據形成小批量，把他們分配給最近的質心

(2)更新質心

​ 與Kmeans相比，數據的更新在每一個小的樣本集上。對於每一個小批量，通過計算平均值得到更新質心，並把小批量里的數據分配給該質心，隨着迭代次數的增加，這些質心的變化是逐漸減小的，直到質心穩定或者達到指定的迭代次數，停止計算。

10.總結

優化方法	思路
Canopy+kmeans	Canopy粗聚類配合kmeans
kmeans++	距離越遠越容易成為新的質心
二分k-means	拆除SSE最大的簇
k-medoids	和kmeans選取中心點的方式不同
kernel kmeans	映射到高維空間
ISODATA	動態聚類
Mini-batch K-Means	大數據集分批聚類

 

六、特征工程——特征降維

1.降維

降維是指在某些限定條件下，降低隨機變量(特征)個數，得到一組“不相關”主變量的過程

• 降低隨機變量的個數

 

•  相關特征(correlated feature)
  • 相對濕度與降雨量之間的相關

2.降維的兩種方式

• 特征選擇
• 主成分分析（可以理解一種特征提取的方式）

3.特征選擇

數據中包含冗余或無關變量（或稱特征、屬性、指標等），旨在從原有特征中找出主要特征。

4.特征選擇方法

• Filter(過濾式)：主要探究特征本身特點、特征與特征和目標值之間關聯
  • 方差選擇法：低方差特征過濾
  • 相關系數
• Embedded (嵌入式)：算法自動選擇特征（特征與目標值之間的關聯）
  • 決策樹:信息熵、信息增益
  • 正則化：L1、L2
  • 深度學習：卷積等

5.低方差特征過濾

刪除低方差的一些特征，前面講過方差的意義。再結合方差的大小來考慮這個方式的角度。

• 特征方差小：某個特征大多樣本的值比較相近
• 特征方差大：某個特征很多樣本的值都有差別

API：

sklearn.feature_selection.VarianceThreshold(threshold = 0.0)

• 刪除所有低方差特征
• Variance.fit_transform(X)
  • X:numpy array格式的數據[n_samples,n_features]
  • 返回值：訓練集差異低於threshold的特征將被刪除。默認值是保留所有非零方差特征，即刪除所有樣本中具有相同值的特征。

eg.

# 有如下特征
pe_ratio,pb_ratio,market_cap,return_on_asset_net_profit,du_return_on_equity,ev,earnings_per_share,revenue,total_expense

index,pe_ratio,pb_ratio,market_cap,return_on_asset_net_profit,du_return_on_equity,ev,earnings_per_share,revenue,total_expense,date,return
0,000001.XSHE,5.9572,1.1818,85252550922.0,0.8008,14.9403,1211444855670.0,2.01,20701401000.0,10882540000.0,2012-01-31,0.027657228229937388
1,000002.XSHE,7.0289,1.588,84113358168.0,1.6463,7.8656,300252061695.0,0.326,29308369223.2,23783476901.2,2012-01-31,0.08235182370820669
2,000008.XSHE,-262.7461,7.0003,517045520.0,-0.5678,-0.5943,770517752.56,-0.006,11679829.03,12030080.04,2012-01-31,0.09978900335112327
3,000060.XSHE,16.476,3.7146,19680455995.0,5.6036,14.617,28009159184.6,0.35,9189386877.65,7935542726.05,2012-01-31,0.12159482758620697
4,000069.XSHE,12.5878,2.5616,41727214853.0,2.8729,10.9097,81247380359.0,0.271,8951453490.28,7091397989.13,2012-01-31,-0.0026808154146886697

分析：

• 初始化VarianceThreshold,指定閥值方差
• 調用fit_transform

def variance_demo():
    """
    刪除低方差特征——特征選擇
    :return: None
    """
    data = pd.read_csv("factor_returns.csv")
    print(data)
    # 1、實例化一個轉換器類
    transfer = VarianceThreshold(threshold=1)
    # 2、調用fit_transform
    data = transfer.fit_transform(data.iloc[:, 1:10])
    print("刪除低方差特征的結果：\n", data)
    print("形狀：\n", data.shape)

    return None

# 返回結果
            index  pe_ratio  pb_ratio    market_cap  \
0     000001.XSHE    5.9572    1.1818  8.525255e+10   
1     000002.XSHE    7.0289    1.5880  8.411336e+10    
...           ...       ...       ...           ...   
2316  601958.XSHG   52.5408    2.4646  3.287910e+10   
2317  601989.XSHG   14.2203    1.4103  5.911086e+10   

      return_on_asset_net_profit  du_return_on_equity            ev  \
0                         0.8008              14.9403  1.211445e+12   
1                         1.6463               7.8656  3.002521e+11    
...                          ...                  ...           ...   
2316                      2.7444               2.9202  3.883803e+10   
2317                      2.0383               8.6179  2.020661e+11   

      earnings_per_share       revenue  total_expense        date    return  
0                 2.0100  2.070140e+10   1.088254e+10  2012-01-31  0.027657  
1                 0.3260  2.930837e+10   2.378348e+10  2012-01-31  0.082352  
2                -0.0060  1.167983e+07   1.203008e+07  2012-01-31  0.099789   
...                  ...           ...            ...         ...       ...  
2315              0.2200  1.789082e+10   1.749295e+10  2012-11-30  0.137134  
2316              0.1210  6.465392e+09   6.009007e+09  2012-11-30  0.149167  
2317              0.2470  4.509872e+10   4.132842e+10  2012-11-30  0.183629  

[2318 rows x 12 columns]
刪除低方差特征的結果：
 [[  5.95720000e+00   1.18180000e+00   8.52525509e+10 ...,   1.21144486e+12
    2.07014010e+10   1.08825400e+10]
 [  7.02890000e+00   1.58800000e+00   8.41133582e+10 ...,   3.00252062e+11
    2.93083692e+10   2.37834769e+10]
 [ -2.62746100e+02   7.00030000e+00   5.17045520e+08 ...,   7.70517753e+08
    1.16798290e+07   1.20300800e+07]
 ..., 
 [  3.95523000e+01   4.00520000e+00   1.70243430e+10 ...,   2.42081699e+10
    1.78908166e+10   1.74929478e+10]
 [  5.25408000e+01   2.46460000e+00   3.28790988e+10 ...,   3.88380258e+10
    6.46539204e+09   6.00900728e+09]
 [  1.42203000e+01   1.41030000e+00   5.91108572e+10 ...,   2.02066110e+11
    4.50987171e+10   4.13284212e+10]]
形狀：
 (2318, 8)

6.相關系數

主要實現方式：

• 皮爾遜相關系數
• 斯皮爾曼相關系數

7.皮爾遜相關系數（Pearson Correlation Coefficient）

作用：

反應變量之間相關關系密切程度的統計指標

公式：

 

 特點：

相關系數的值介於–1與+1之間，即–1≤ r ≤+1。其性質如下：

• 當r>0時，表示兩變量正相關，r<0時，兩變量為負相關
• 當|r|=1時，表示兩變量為完全相關，當r=0時，表示兩變量間無相關關系
• 當0<|r|<1時，表示兩變量存在一定程度的相關。且|r|越接近1，兩變量間線性關系越密切；|r|越接近於0，表示兩變量的線性相關越弱
• 一般可按三級划分：|r|<0.4為低度相關；0.4≤|r|<0.7為顯著性相關；0.7≤|r|<1為高度線性相關

API：

from scipy.stats import pearsonr

• x : (N,) array_like
• y : (N,) array_like Returns: (Pearson’s correlation coefficient, p-value)

8.斯皮爾曼相關系數（Rank IC）

作用：

反應變量之間相關關系密切程度的統計指標

公式：

 

 特點：

• 斯皮爾曼相關系數表明 X (自變量) 和 Y (因變量)的相關方向。 如果當X增加時， Y 趨向於增加, 斯皮爾曼相關系數則為正
• 與之前的皮爾遜相關系數大小性質一樣，取值 [-1, 1]之間

【注】

斯皮爾曼相關系數比皮爾遜相關系數應用更加廣泛

API：

from scipy.stats import spearmanr

eg.

from scipy.stats import spearmanr

x1 = [12.5, 15.3, 23.2, 26.4, 33.5, 34.4, 39.4, 45.2, 55.4, 60.9]
x2 = [21.2, 23.9, 32.9, 34.1, 42.5, 43.2, 49.0, 52.8, 59.4, 63.5]

spearmanr(x1, x2)

# 結果
SpearmanrResult(correlation=0.9999999999999999, pvalue=6.646897422032013e-64)

 9.主成分分析

• 定義：高維數據轉化為低維數據的過程，在此過程中可能會舍棄原有數據、創造新的變量
• 作用：是數據維數壓縮，盡可能降低原數據的維數（復雜度），損失少量信息。
• 應用：回歸分析或者聚類分析當中

API：

sklearn.decomposition.PCA(n_components=None)

• 將數據分解為較低維數空間
• n_components:
  • 小數：表示保留百分之多少的信息
  • 整數：減少到多少特征
• PCA.fit_transform(X) X:numpy array格式的數據[n_samples,n_features]
• 返回值：轉換后指定維度的array

eg.

[[2,8,4,5],
[6,3,0,8],
[5,4,9,1]]
from sklearn.decomposition import PCA

def pca_demo():
    """
    對數據進行PCA降維
    :return: None
    """
    data = [[2,8,4,5], [6,3,0,8], [5,4,9,1]]

    # 1、實例化PCA, 小數——保留多少信息
    transfer = PCA(n_components=0.9)
    # 2、調用fit_transform
    data1 = transfer.fit_transform(data)

    print("保留90%的信息，降維結果為：\n", data1)

    # 1、實例化PCA, 整數——指定降維到的維數
    transfer2 = PCA(n_components=3)
    # 2、調用fit_transform
    data2 = transfer2.fit_transform(data)
    print("降維到3維的結果：\n", data2)

    return None

# 結果
保留90%的信息，降維結果為：
 [[ -3.13587302e-16   3.82970843e+00]
 [ -5.74456265e+00  -1.91485422e+00]
 [  5.74456265e+00  -1.91485422e+00]]
降維到3維的結果：
 [[ -3.13587302e-16   3.82970843e+00   4.59544715e-16]
 [ -5.74456265e+00  -1.91485422e+00   4.59544715e-16]
 [  5.74456265e+00  -1.91485422e+00   4.59544715e-16]]