博主聯賽打鐵了，就回來更博了（哭）。
今年的聯賽按照大眾評價似乎是 2016 之后最簡單的一次，事實也確實如此吧。二試的幾何題和代數題都是初中范圍內的基礎知識點，而數論題如果能想到在 \(\bmod m\) 跟 \(\bmod m^2\) 下搞就能很容易搞出來，組合壓軸還是很困難的。
我一試爆炸了導致總分過低，二試寫出了 A 和 B，而且我省改分過於嚴格，估計很難拿全分。分數線大家紛紛認為 120 ~ 130，所以我幾乎就是打鐵了。
這里先放二試題面。
Solutions
一、
一個比較基礎的初中幾何，首先連上 \(BD\), \(CE\)，欲證 \(BC=2BP\)，即證 \(BP=CM\)。
觀察到 \(\triangle BPD \cong \triangle CME\)，下證之；
由圓周角相等以及角分線，\(\angle BDP=\angle CEP\)；
由已知 \(DP=ME\)；
對 \(\triangle BPM\) 和 \(\triangle CME\) 正弦定理易證 \(BD=CE\)。
二、
首先待求式是容易按照套路化簡的，\(2f\) 顯然可以化作平方和的形式。
記 \(a_{-1}=a_{0}=0\)，則 \(2f=\sum_{i=1}^{2018} (a_i-a_{i-2})^2 + (a_{2017}-a_{2019})^2 + a_{2018}^2 + a_{2019}^2\)。
易知對 \(x\in \text{N}\)，有 \(x^2\ge x\)，僅當 \(x=0\) 或 \(1\) 時取等號。
故 \(2f\ge a_{2017} + a_{2018} + (a_{2017}-a_{2019})^2 + a_{2018}^2 + a_{2019}^2\)；
不妨設 \(a_{2017}=t,a_{2018}\ge t\) 據此放縮一下即：
\(2f\ge 2t + (t-99)^2 + t^2 + 99^2\)。
這是一個二次函數，當 \(t=49\) 時其最小值為 \(14800\)，故 \(f\ge 7400\)。
計數一下方案，設差分數組 \(b_n=a_n-a_{n-1}\)，則對於 \(3\le i\le 2017\)，\(b_i\in \{0,1\}\)，且對於相鄰的兩個 \(b_i\) 不全為 \(1\)。
插板，方案數是 \(1968\choose 48\)。
三、
注意到當 \(n>2\)，\(m \mid a_n-a_{n-1}\)，那么有 \(a_2\equiv a_3\equiv \dots \pmod m\)。
而題目說存在 \(a_r=a_s=a_1\)，故也有 \(a_2\equiv a_1\pmod m\)，反之就不存在。
設 \(a_1=k \pmod m\)；
在模 \(m^2\) 意義下：\(0\equiv a_r-a_s\equiv \sum_{i=s+1}^r a_i-a_{i-1}\equiv m\sum_{i=s}^{r-1} a_i\equiv m(r-s)k \pmod {m^2}\)。
若 \(\gcd(k,m)=1\) 則必有 \(m\mid r-s\) 即得證。
這上面是整個的大致思路。
另外還要討論當 \(m<0\) 或 \(\gcd(k,m)>1\) 或 \(a_1\equiv 0 \pmod m\) 或 \(a_2\equiv 0 \pmod m\) 的情況，都比較容易，但實際考場上需要十分嚴密的書寫證明，感覺不太容易滿分。
四、
咕咕咕