The Preliminary Contest for ICPC Asia Nanjing 2019

 

 

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參考資料：

　　[1]:官方題解（提取碼：w6ny）

 

A.The beautiful values of the palace（思維+樹狀數組+掃描線）

•題意

　　給你一個 $n\times n$ 的矩陣，從右上角開始轉圈填充 1~n×n；
　　給你 m 個坐標，只有這 m 個坐標對應的位置有權值；
　　有 q 次詢問，每次詢問給出兩個點的坐標 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$；
　　求由這兩個點形成的矩形所包圍的區域中，經過處理后的權值加和；
　　處理的方法是，將原權值所有數位上的數相加；

•題解

　　對於每次詢問，都可以處理成四部分來處理：
　　　　$ans=f(x_2,y_2)-f(x_{1}-1,y_2)-f(x_2,y_{1}-1)+f(x_{1}-1,y_{1}-1)$;
　　其中 f(x,y) 指的是由 (1,1)和(x,y) 形成的矩形中的經處理后的權值加和；
　　但是由於 n 很大，所以我們不能夠通過開數組預處理出所有的前綴和；
　　因為沒有修改操作，所以我們可以將所有詢問離線處理；
　　用如下數據結構存儲信息：

struct Point
{
    int x,y;
    int f;
    int id;
}p[maxn];

　　其中，f 指的是當前區間是加上還是減去，如果需要加上，令 f = 1，反之，令 f = -1；
　　id 指的是當前詢問的編號；
　　定義好數據結構后，對於第 i 次詢問，我們需要記錄 4 個信息：
　　　　1.$(x=x_2,y=y_2,f=1,id=i)$
　　　　2.$(x=x_{1}-1,y=y_{1}-1,f=1,id=i)$
　　　　3.$(x=x_{1}-1,y=y_2,f=-1,id=i)$
　　　　4.$(x=x_2,y=y_{1}-1,f=-1,id=i)$
　　f 取值分別對應上述 f(x,y) 前的符號，如果是加入到 ans 中，f 就取值為 1，反之，取值 -1；
　　除了記錄詢問的信息外，還需要記錄 m 個有權值的坐標；
　　當然，此處要將這 m 個信息和上述 4*q 個信息區分，區分的方式就是將這 m 個信息的 f 取值為 2；
　　將這 q*4+m 個信息記錄好后，按照 先x,在y,最后f 的規則排序，就像掃描線求矩形周長並的那道題一樣；
　　排序策略不對的話直接就導致整個程序 wa；
　　排序策略如下：

bool operator < (const Point& obj)const
{
    if(x != obj.x)
        return x < obj.x;
    else if(y != obj.y)
        return y < obj.y;
    else
        return f > obj.f;
}

　　離線好這些信息后，還需要一個重要的信息，如何快速求出 m 個有用坐標對應的值；
　　你可以參考這篇博客：題解 P2239 【螺旋矩陣】
　　根據對稱性，很容易求出 (x,y) 所處的圈數 t=min(x,y,n+1-x,n+1-y)；
　　令 a₁=第一圈的維數-1,a₂=第二圈的維數-1,...,a_i=第i圈的維數-1;
　　易得 a₁=n-1,a₂=n-1-2,.....,a_i=n-1-2*(i-1)，構成了等差數列；
　　令 num₁=第一圈右上角的值,num₂=第二圈右上角的值,...,num_i=第i圈右上角的值；
　　易得
　　　　num₁=1;
　　　　num₂=num₁+4*a₁;
　　　　num₃=num₁+4*(a₁+a₂);
.　　　　..........
　　　　num_i=num₁+4*(a₁+a₂+...+a_i-1);

　　因為 a 構成了等差數列，所以 num_i=1+4*(a的前i-1項和)
　　有了右上角的值，很容易求出當前圈數對應的左下角的值；
　　　　leftDown=numi+2*ai;
　　假設 (x,y) 在第 t 圈，其對應的值用 ans 記錄；
　　根據上述講解求出 leftDown 后，找到 (x,y)與(t,t) 的曼哈頓距離，記為 cnt；
　　那么 ans=leftDown+(x >= y ? -cnt:cnt);
　　求出 ans 后，將其各個位的數字加起來就得到了所需的權值；
　　然后，從 1 開始枚舉 p 中的值，如果當前的 f = 2，那么，就將當前的權值加入到樹狀數組中；
　　反之，更新相應的 ans=f*Sum();
　　Sum() 求的是 (1,1)與當前的(x,y) 形成的矩形所包含的權值和；

•Code

　　2019ICPC南京網絡賽A.cpp

 

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B.super_log

•題意

　　$log_{a}^{*} (x)=\begin{cases}\ \ \ \ \ \ \ -1\ ,\ if\ x < 1 \\1+log_{a}^{*} (log_{a}x),if\ x \ge 1 \end{cases}$

　　給出你 a,b,m，讓你求解使得 $log_{a}^{*} (x) \ge b$ 最小的 x，因為 x 可能很大，所以輸出結果對 m 取模；

•題解

　　易得 $log_{a}^{*} (a^a)=2\ ,\ log_{a}^{*} (a^{a^a})=3$，那么滿足上述條件的最小的 x 為：

　　　　$x=\underbrace{a^{a^{a^{\cdots}}}}_{b}$;

　　那么問題就轉化為了求解 $\underbrace{a^{a^{a^{\cdots}}}}_{b}\ mod\ m$ 的值；

　　經過這兩天的腦補，終於學會了這一類問題的解決方法--歐拉降冪，具體詳見我的這篇博客；

　　因為此題中指數可能小於 $\varphi(p)$，所以需要采取實戰2的策略，在快速冪中判斷 x 與 $\varphi(p)$ 的大小關系；

•Code

　　2019ICPC南京網絡賽B.cpp

 

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 F.Greedy Sequence（set+upper_bound()+思維）

•題意

　　給你一個包含 n 個數的序列 a，其中 a 中存的數為 1~n 的排列；

　　定義一個二維數組 s；

　　s 中一共有 n 行，每行有 n 個數；

　　定義 s 數組：

　　　　① $s_{i}[1]=i$

　　　　②$\forall\  i \in[1,n],j \in [2,n],s_{i,j} \le s_{i,j-1}$，即 $s_i$是個非增序列；

　　　　③對於 $s_i$ 中的第 j( j > 1 ) 個數，$s_{i,j}$ 在 a 中的位置與 $s_{i,j-1}$ 在 a 中的位置之差的絕對值不能超過 k；

　　　　④ $s_i$ 中的第 j( j > 1) 個數，要盡可能的大；

　　　　⑤如果 $s_{i,j}$ 后，在 a 中找不到滿足條件 ②③ 的數，並且 $s_i$ 不足 n 個數，用 0 填充剩余的數；

　　輸出 |s₁|,|s₂|,...,|s_n|，|s_i|表示 s 中第 i 行包含的數的個數；

•題解（by官方）

　　

•Code

　　2019ICPC南京網絡賽F.cpp