Gym 101981J - Prime Game - [數學題][線性篩+分解質因數][2018-2019 ACM-ICPC Asia Nanjing Regional Contest Problem J]

題目鏈接：http://codeforces.com/gym/101981/attachments

題意：

令 $mul(l,r) = \prod_{i=l}^{r}a_i$，且 $fac(l,r)$ 代表 $mul(l,r)$ 的不同素因子個數。求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}fac(i,j)$。

Input
The first line contains one integer n (1 \le n \le 10^6) — the length of the sequence.
The second line contains n integers ai (1 \le i \le n, 1 \le a_i \le 10^6) — the sequence.

Output
Print the answer to the equation.

Examples
standard input
10
99 62 10 47 53 9 83 33 15 24

standard output
248

standard input
10
6 7 5 5 4 9 9 1 8 12

standard output

134

 

題解：

考慮每個質因子對於整體答案的貢獻。

拿第二組樣例算一算就不難發現：第 $p$ 個位置上的數，其包含的任意一個素因子，它原本應當產生的貢獻有 $(n-p+1) \cdot p$，

但是考慮到若其前面出現過一樣的素數，那么應當減去一些重復計算的區間。假設它前面的和它一樣的素數，最后一次出現在 $q$ 位置，那么就應當減去 $(n-p+1) \cdot q$，即 $a[p]$ 包含的任意一個質因子其產生的貢獻為 $(n-p+1) \cdot p - (n-p+1) \cdot q = (n-p+1) \cdot (p - q)$。

不妨用 $pos[i][k]$ 來存儲每個素因子的 “$p$”，$pos[i][k-1]$ 存儲每個素因子的 “$q$”。換句話說，$pos[i][k]$ 代表某個素因子 $i$ 在 $a[1 \sim n]$ 中第 $k$ 次“出現”的位置是 $pos[i][k]$；特別地，令 $pos[i][0]=0$。那么對於任意素因子 $i$，它對答案的貢獻是 $(n-pos[i][k]+1) \cdot (pos[i][k]-pos[i][k-1])$。

我們可以對 $a[1 \sim n]$ 分解質因數，然后更新相應的 $pos[i][k]$。

 

AC代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5;

int n,a[maxn];
vector<int> pos[maxn];
void dec(int p)
{
    int n=a[p];
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            pos[i].push_back(p);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) pos[n].push_back(p);
}
int main()
{
    for(int i=2;i<maxn;i++) pos[i].push_back(0);

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        dec(i);
    }

    ll ans=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        for(int k=1;k<pos[i].size();k++)
            ans+=(ll)(n-pos[i][k]+1)*(pos[i][k]-pos[i][k-1]);
    }
    cout<<ans<<endl;
}

 

分解質因數板子：

vector<int> dec(int n)
{
    vector<int> p;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            p.push_back(i);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) p.push_back(n);
    return p;
}

 

交了一發，大概700ms多點過了，那我們能否加快一下速度呢？

我們可以先用線性篩篩出 $[1,1e6]$ 的素數，然后再做分解質因數：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5;

int n,a[maxn];
vector<int> pos[maxn];

const int MAX=1e6;
int tot,prime[MAX/10];
bool isPrime[MAX+3];
void Screen() //歐拉篩
{
    tot=0;
    memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
    isPrime[0]=isPrime[1]=0;
    for(int i=2;i<=MAX;i++)
    {
        if(isPrime[i]) prime[tot++]=i;
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>MAX) break;
            isPrime[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

void dec(int p)
{
    int n=a[p];
    for(int i=0;i<tot && prime[i]*prime[i]<=n;i++)
    {
        if(n%prime[i]==0)
        {
            pos[prime[i]].push_back(p);
            while(n%prime[i]==0) n/=prime[i];
        }
    }
    if(n>1) pos[n].push_back(p);
}
int main()
{
    Screen();
    for(int i=0;i<tot;i++) pos[prime[i]].push_back(0);

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        dec(i);
    }

    ll ans=0;
    for(int i=0;i<tot;i++)
    {
        for(int k=1;k<pos[prime[i]].size();k++)
            ans+=(ll)(n-pos[prime[i]][k]+1)*(pos[prime[i]][k]-pos[prime[i]][k-1]);
    }
    printf("%I64d\n",ans);
}

跑了大概400ms，還是快了不少的。