在開始正式的介紹之前，先做一個簡單的定義，以免產生歧義：
1、本文中的“數據點”是指：
1）對於直線擬合、平面擬合等問題，即為相應的二維/三維坐標點；
2）對於從匹配點中估計基本矩陣、單應矩陣等問題，即為一對匹配點坐標級聯組成的向量。
一、RANSAC之前
RANSAC在1981年被Martin A. Fischler and Robert C. Bolles兩人提出，以解決給定點集的模型估計問題。在現實應用中，我們經常遇到的情況是：給定的點集中存在錯誤的點。傳統的模型估計方法，大都采用所有的點進行模型最小二乘的擬合，這種方法往往容易受野點影響而得到錯誤結果（相當於陷入局部最優）。該最小二乘法的一種變種是，首先用所有點估計模型，而后剔除誤差較大的點，而后再次估計模型，以此迭代。然而，由於野點的影響，往往會導致最開始估計的模型不准確，從而導致正確的點被剔除掉，最終導致模型估計的失敗。下面是一個例子：
由於點7的影響，導致正確的點被剔除，最終擬合的直線為虛線，而不是正確的實線。
二、RANSAC之1.0版本
RANSAC方法為第一個方法，采用最少能決定模型的點進行模型估計的方法，最原始的方法被描述為：
整個算法被分為三步：
1） 從所有的數據中采樣n個點，以能確定出模型；
2） 利用采樣點計算模型；
3） 利用模型來確定其他點是否是內點；如果內點率達到指定值，算法終止，並用所有內點優化模型；否則，繼續上述過程，直到達到指定的迭代次數，此時將最高內點率對應的模型作為最終模型。
上述思路簡潔明了，其核心思想就是：待求解的模型，應該是能同時使最多數據點都符合模型。從這一思想從發，其實可以有另一條不同的思路，后續我會進一步介紹。
三、RANSAC 1.0版本剖析
下面讓我們回顧下該方法，看該方法在具體應用中，還需要解決哪些問題：
算法第一步，從數據中采樣n個點，這里要求n為能確定模型的最小的數據量，那么該選取怎樣的采樣准則？從所有數據中采樣，還是僅僅從部分數據（總數據的一個子集）中進行采樣？每個數據被采集的可能性是否相同？采取隨機采樣，還是按一定順序進行采樣？是否需要避免同一組數據被重復采樣，如果需要，該如何避免？這里先給出通常的做法，更加細致的分析也留到后續。通常情況下，我們在所有數據中進行隨機采樣，且所有數據每次被采樣的可能性是一樣的，而且我們通常不考慮兩次采樣得到的樣本是重復的。
算法第二步，利用采樣數據計算模型。我們知道，在第一步中，我們要求采樣點盡可能少，同時我們也知道，當數據點存在噪聲（通常考慮為高斯噪聲）時，樣本點的數目越多，求解的模型越准確。這就意味着我們此刻求解的模型不夠准確，那么這個不夠准確的模型，是否能夠用來判斷其他點是否是內點？其次，如果我們待求解的問題，無法用一個模型，或者無法用一個僅包含若干個參數的模型進行表達，此時是否還能使用“最大一致性”的思路？針對第一個問題，我們通常認為雖然模型存在誤差，但是在后續內點判斷中，我們設定一定的誤差閾值，因此能夠用該模型來近似最終模型。同時，一些RANSAC的改進，采用“局部優化”技術來一定層度解決這一問題，關於該方法的討論，同樣會在后續，進行詳細的剖析。針對第二個問題，有一些無模型的“最大一致性估計”方法，同樣也留待后續介紹。
算法第三步，首先，利用求解的模型確定其他點是否為內點。一個重要的問題是，如何判斷其他點是否為內點？通過其他點與模型的符合程度？那么如何設置這樣一個閾值？有時一個數據是否為內點（例如兩個數據點相沖突，不可能同時為內點。這種情況會發生在：根據兩張圖特征點匹配，求解其基礎矩陣時，如果A圖中的兩個點，匹配到B圖中的同一個點），還與其他數據相關，那么此時如何考慮數據間的關聯？
其次，“如果內點率達到指定值，則終止算法”，那么如何設置這樣一個閾值？因為對於一組數據，通常情況下我們是無法知道其最大內點率。（但問題也不是絕對，我們也可以事先求解出最優模型對應的內點率。哈哈，是不是很crazy，這也留待后續的剖析。）因此，這一迭代的終止條件，現在的RANSAC算法中，已經很少見了。我們通常采用一定置信度下，達到能夠保證至少一次所有的采樣點都為內點的最少采樣次數，作為終止條件。
最后，如何確定最少的采樣次數。原文中提出了兩種方案。假設在一次采樣中，所有點都為內點的概率為p，那么“所有采樣點都為內點首先發生在第k次采樣”這一事件服從幾何分布（參考射擊時第k次才命中這一問題），於是：
原文方案一：求解k的期望值和方差，采用期望值加上2到3倍方差，作為采樣次數。這種方案，可以理解為求解分布的“上分位數”，以保證以一定“所有采樣點都為內點”在進行k次采樣后發生過。
原文方案二：如果要求第 次采樣后，至少一次“所有采樣點都為內點”的概率大於
那么：
由此，
這里一次采樣中所有點都為內點的概率為：
其中N為總數據量，n為最小采樣數，
為內點率。
在此，我們可以看出，為什么選取最少的樣本點進行模型估計。因為，采樣量每增加1，對應需要進行的采樣次數就增加很多，尤其是在內點率很低的情況下，這種情況尤其嚴重。
寫到這里，我們已經對RANSAC最初版本進行了詳細的介紹，同時我們很具體剖析了其各個步驟可能面臨的問題。針對這些問題，后續衍生出了很多RANSAC的變種，我們將在后續進行具體的介紹。
參考文獻：
[1] Fischler M A . Readings in Computer Vision || Random Sample Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis and Automated Cartography[J]. Readings in Computer Vision, 1987:726-740.