2019CCPC網絡賽的一道題目，現場猜到了結論，但本人過於沙雕，試了一下猜想，居然不對，就立刻轉身了。
猜想是正確的，是我驗證錯了....
猜想：
\[gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j \]
推導結果：
\[\sum_{d=1}^{N}\mu(d)\cdot d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{i}(i-j) \]
設\(\lfloor\frac{N}{d}\rfloor=k\)，經過推導發現
\[\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{i}(i-j)=\frac{k^3-k}{6} \]
然后，就只剩下左邊的 \(\mu(d)\cdot d\) 了
\(f(d)=\mu(d)*d\) 和恆等函數 \(Id(n)=n\) 狄利克雷卷積之后得到
\[\begin{align*} (\mu(d)\cdot d)*Id(d) & = \sum_{d|n}(\mu(d)\cdot d)\cdot Id(\frac{n}{d})\\ & = \sum_{d|n}\mu(d) = [n=1] \end{align*} \]
接下來套杜教篩的公式
\[g(1)S(n)=\sum\limits_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum\limits_{i=2}^ng(i)S(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor) \]
\[\begin{align*} S(n) & = \sum\limits_{i=1}^n [i=1]-\sum\limits_{i=2}^ni\cdot S(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)\\ & = 1-\sum\limits_{i=2}^ni\cdot S(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor) \end{align*} \]
至此，本題的數學分析過程已經結束，下面是我的AC代碼
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include<unordered_map>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 6000100
using namespace std;
unordered_map<long long,long long>w1;
const int mod = 1e9+7;
const int inv6 = 166666668;
int getSum(ll k)
{
ll k3 = ((k*k%mod)*k)%mod;
ll res = (k3-k+mod)%mod;
res = res*inv6%mod;
return res;
}
int sum[MAXN];
bool vis[MAXN];
int prime[MAXN], mu[MAXN];
void getMobius()
{
int cnt = 0;
mu[1] = sum[1] = 1;
for (int i = 2; i < MAXN; i++)
{
if (!vis[i])
{
prime[cnt++] = i;
mu[i] = -1;
}
sum[i] = (sum[i-1]+mu[i]*i%mod+mod)%mod;
for (int j = 0; j < cnt; j++ )
{
int k = i*prime[j];
if(k > MAXN) break;
vis[k] = true;
if (i % prime[j] == 0)
{
break;
}
mu[k] = -mu[i];
}
}
}
unordered_map<int,long long>w;
ll djs(int x)
{
if(x<MAXN)return sum[x];
if(w[x])return w[x];
ll ans=1,td,temp;
for(int l=2,r;l>=0&&l<=x;l=r+1)
{
r=x/(x/l);
td=(r-l+1);
td = ((r+l)*td)/2;
td%=mod;
temp = td*djs(x/l)%mod;
ans = (ans-temp+mod)%mod;
}
return w[x]=ans;
}
int main()
{
getMobius();
int caseN; scanf("%d", &caseN);
while(caseN--)
{
int N, a, b; scanf("%d%d%d", &N, &a, &b);
ll td, ink, res=0;
for(int lef = 1, rig; lef <= N; lef=rig+1)
{
ink = N/lef;
rig = N/ink;
td = (djs(rig)-djs(lef-1)+mod)%mod;
res = (res+getSum(ink)*td%mod)%mod;
}
printf("%lld\n", res);
}
return 0;
}
感想
知道我的猜想是正確的之后，吃完晚飯就開始做這道題，好久好久終於改好了
期間，簡單打表會RE，所以就轉了杜教篩
開始打表空間用的太多MLE，太少TLE
最后找到一個合適的大小6e6，不會MLE也不會TLE，結果WA了
想了一會兒，又瞄了一眼答案，好像我搞了半天的東西不太對哦
其實，只是推導結果不一樣而已
頓生絕望，算了，老子明天再看，這種套模板的題能有多難？
早上睡不着，突然想到這道題目打表范圍開大以后應該要mod的
一開始我只開了1e6，沒有mod
於是改了一下，居然AC了！哇，第一道杜教篩題目，歡天喜地!