【BZOJ3944】Sum（杜教篩）

題面

求$$\sum_{i=1}^n\mu(i)和\sum_{i=1}^n\phi(i)$$
范圍：\(n<2^{31}\)
令$$S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)$$
隨便找個函數\(g\)和\(\mu\)做狄利克雷卷積

\[(g*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d}) \]

對這個玩意求前綴和

\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d}) \]

把\(d\)給提出來

\[\sum_{d=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d}) \]

\[\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n/d}\mu(d)g(i) \]

把\(g(d)\)提出去

\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i) \]

把前面設的東西帶回去

\[\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d}) \]

那么，我們發現，我們要求的是\(S(n)\)

\[g(1)S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d}) \]

\[=\sum_{d=1}^n(g*\mu)(d)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d}) \]

我們知道：

\[\sum_{i|n}\mu(i)=[n=1] \]

令\(g(x)=1\)
前面一堆東西是什么呀？

\[(1*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(i)=[i=1] \]

所以，

\[S(n)=1-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d}) \]

后面的東西很顯然可以數論分塊
但是，我們不可能算完所有的東西
所以，線性篩預處理\(n^{\frac{2}{3}}\)項的前綴和
對於大於這個范圍的值就做數論分塊，然后遞歸處理

---

再看一下\(\phi\)怎么做
和前面一樣，設出前綴和

\[S(n)=\sum_{i=1}^n\phi(i) \]

找個函數\(g\)來做卷積

\[(g*\phi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\phi(\frac{i}{d}) \]

求個前綴和

\[\sum_{i=1}^n(g*\phi)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\phi(\frac{i}{d}) \]

\(g\)提出來

\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}\phi(\frac{i}{d}) \]

\[=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}\phi(i) \]

\[=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d}) \]

根剛才的式子沒什么區別

\[S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d}) \]

\[S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\phi)(i)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d}) \]

我們又知道一個式子：

\[\sum_{d|i}\phi(d)=i \]

也就是：$$(1*\phi)(i)=i$$
所以

\[S(n)=\sum_{i=1}^ni-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d}) \]

\[S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d}) \]

和前面一樣的，預處理\(n^\frac{2}{3}\)項
然后遞歸算就可以了

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如果緊緊把范圍卡在\(n^\frac{2}{3}\)這題會\(TLE\)???
一定是我常數太丑
反正可以多篩點
於是就多篩點
然后就\(AC\)啦???

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 2500000
#define ll long long
inline ll read()
{
	ll x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
bool zs[MAX+10];
int pri[MAX+10],tot;
ll mu[MAX+10],phi[MAX+10];
map<ll,ll> mm,pp;
void pre()
{
	zs[1]=true;mu[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAX;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i],phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
			else{mu[i*pri[j]]=0;phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAX;++i)phi[i]+=phi[i-1];
	for(int i=1;i<=MAX;++i)mu[i]+=mu[i-1];
}
ll Mu(ll x)
{
	if(x<=MAX)return mu[x];
	if(mm[x])return mm[x];
	ll ret=0;
	ll i=2,j;
	while(i<=x)
	{
		j=x/(x/i);
		ret+=(j-i+1)*Mu(x/i);
		i=j+1;
	}
	return mm[x]=1-ret;
}
ll Phi(ll x)
{
	if(x<=MAX)return phi[x];
	if(pp[x])return pp[x];
	ll ret=0;
	ll i=2,j;
	while(i<=x)
	{
		j=x/(x/i);
		ret+=(j-i+1)*Phi(x/i);
		i=j+1;
	}
	return pp[x]=x*(x+1)/2-ret;
}
int main()
{
	pre();
	int T=read();
	while(T--)
	{
		ll n=read();
		printf("%lld %lld\n",Phi(n),Mu(n));
	}
	return 0;
}