常用的位運算技巧
位運算是很多算法優化的基礎和實現的條件，極其重要。理解位運算對於一些算法及其優化有着非常重要的意義。本篇隨筆講解位運算的一些基本原理和常用的使用技巧。
注：本篇隨筆的所有“運算”均指二進制下的運算，請大家自行理解。
1、與(&)運算
(1)運算法則
兩個二進制數進行與&運算，如果對應位都為1則結果為1，否則為0.
(2)技巧及用途
與運算常常用於二進制下的取位操作。想要知道二進制下的某位是否是1，就&上這個位數對應的十進制數。假如返回的是這個十進制數本身，則這個位的確是1，反之就是0.
比如：
我們要取第三位是否為1，我們只需要與&上第三位（二進制表示為100）對應的二進制數4，如果返回值為4，就代表第三位為1，反之就是0.
最常用的是取二進制下的最末位，即a&1。這樣的技巧可以用於判斷奇偶，根據二進制常識，尾數為1則為奇數，反之為偶數。
2、或(|)運算
(1)運算法則
兩個二進制數進行或|運算，如果對應位有一個為1，結果就為1.只有在兩個數的對應位置都是0的時候，結果才為0.
(2)技巧及用途
或運算常用於二進制特定位的賦值。想把哪個位強行變成1，就用這個數|上這個位數對應的二進制數。
還是上面那個例子，我們想讓00000的第三位變成1.即十進制變4，我們直接|上4就可以。
當然，不同於&運算，我們很少用|運算進行任意位賦值。通常來講，我們只使用a|1把a的最后一位強行變成1，其實質意義是把原數加一。或者使用a|1-1再把它變為0.這個技巧通常用於把它變成它最接近的偶數。
3、異或(^)(xor)運算
(1)運算法則
兩個二進制數進行異或(^)運算，如果對應位相同，不管是0或者是1，都返回1，反之返回0.
(2)技巧及用途
其實沒啥用途...
好吧，我介紹一個性質：一個數經過兩次異或之后等於原數。
（很好理解）
4、非(~)運算
(1)運算法則
把給定二進制數全部取反。
(2)技巧及用途
其實沒什么運算上的用途，本蒟蒻曾看見一些大佬用這個運算判斷輸入是否為0...
大約長這個樣子：
while(~scanf("%d",&n))
5、左移(<<)運算
(1)運算法則
a<<b表示把a的二進制位向左移動b位，低位用0補上。
(2)技巧及用途
根據二進制的常識，我們會發現，二進制第k位上的數就等於\(2^k\)。（從0開始計位）
比如，二進制下的100就是\(2^{k=2}=4\)。
所以我們發現，左移運算a<<b的實質就是\(a×2^b\)。
左移運算最常用的技巧就是用來代替×2的整數次冪的乘法運算。因為我們普遍認為，位運算是要比四則運算加減乘除及模運算更快一些的運算。
6、右移(>>)運算
(1)運算法則
a>>b就是把a的二進制位向右移動b位，溢出的舍去。
(2)技巧及用途
類比於左移運算，我們發現右移運算就是把a除以2的整數次冪。這就是右移運算的用途——優化除法運算。
這里需要特殊說明的是，右移算法可以用在數學知識中的求最大公約數的程序塊上。因為mod運算的效率慢的出奇，所以我們可以用右移運算來進行除以2的操作。據說可以提高百分之60的效率。
7、位運算優先級
位運算的優先級是我們在處理位運算的時候常常要考慮的問題，誠然，我們可以用括號強制位運算的順序，但是，我們還是應該學會位運算的優先級（這應該是常識）。
位運算的優先級如下：
按位反（~）>位移運算（<<,>>）>按位與（&）>按位異或（^）>按位或（|）
附：位運算在狀壓DP的用法
眾所周知，狀壓DP就是把狀態壓縮成一個01串（其實就是一個二進制數），用以減少DP數組的維數。但是我們在DP的時候就要按照01串來進行狀態的轉移。所以位運算是狀壓DP的基礎知識和必備知識。所以我在本篇隨筆的末尾還附上了狀壓DP中比較常用的操作及其二進制實現的方式。
正文：（本文中的a表示十進制下的整數）
1、獲得第i位的數字：(a>>i)&1 或者 a&(1<<i)
很好理解，我們知道可以用&1來提取最后一位的數，那么我們現在要提取第i位數，就直接把第i位數變成最后一位即可（直接右移）。或者，我們可以直接&上1左移i位，也能達到我們的目的。
2、設置第i位為1：a=a|(1<<i)
我們知道強制賦值用|運算，所以就直接強制|上第i位即可。
3、設置第i位為0：a=a&(~(1<<i))
這里比較難以理解。其實很簡單，我們知道非~運算是按位取反，(1<<i)非一下就變成了第i為是0，其它全是1的二進制串。這樣再一與原數進行&運算，原數的第i位無論是什么都會變成0，而其他位不會改變（實在不明白的可以用紙筆進行推演）。
4、把第i位取反：a=a^(1<<i)
1左移i位之后再進行異或，我們就會發現，如果原數第i位是0，一異或就變成1，否則變成0。
5、取出一個數的最后一個1：a&(-a)
學過樹狀數組的同學會發現，這就是樹狀數組的lowbit。事實上，這和樹狀數組的原理是一樣的。我想，不需要我多解釋。