幾大分布函數

目錄

1、0-1分布（兩點分布、伯努利分布）

2、幾何分布

3、二項分布

4、高斯分布（正態分布）

5、卡方分布 （chi-square distribution）

6、t分布

• 6.1 置信區間
• 6.2 例題

7、泊松分布

8、指數分布

9、F分布

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1、0-1分布

單個二值型離散隨機變量的分布，概率分布函數：

2、幾何分布

離散型概率分布，定義為：n次伯努利試驗中，試驗k次才能得到一次成功的機率。即前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。

概率分布函數：

3、二項分布

n次伯努利試驗，各次試驗之間相互獨立，每次試驗只有兩種可能（拋硬幣），相互對立。設事件發生的概率是P，不發生的概率是1-P，n次重復獨立試驗中發生K次的概率：

4、高斯分布（正態分布）

隨機變量X服從數學期望為μ，方差為σ2的正態分布，記為N(μ，σ2)。

μ決定正態分布的位置。

標准差決定正態分布的幅度。

性質：

標准正態分布：μ=0，σ=1。

性質：

 Φ(x)=1-Φ(-x)

5、卡方分布 （chi-square distribution）

若n個相互獨立的隨機變量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服從標准正態分布N(0,1)（也稱獨立同分布於標准正態分布），則這n個服從標准正態分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其分布規律稱為卡方分布（chi-square distribution）。

隨機變量 ：

記為：

其中參數  稱為自由度，自由度不同就是另一個  分布。

卡方分布是由正態分布構造而成的一個新的分布，當自由度  很大時，  分布近似為正態分布。

性質：

6、t分布

正態分布是許多統計方法的理論基礎。μ和σ決定了正態分布的位置和形態。為了應用方便，常將一般的正太變量X通過u變換[(X-μ)/σ]轉化成標准正態分布N(0,1)，使原來各種形態的正態分布都轉換成了μ=0，σ=1的標准正態分布，也稱為u分布 。

根據中心極限定理，通過抽樣模擬試驗表明，在正態分布總體以固定n抽取若干個樣本時，樣本均數的分布仍然服從正態分布N(μ,  )。所以對樣本均數（均值）的分布進行u變換，也可以變換為標准正態分布。

實際工作中，σ²（總體方差）是未知的，所以常用s作為σ的估計值，為了與u變換區別，稱為t變換。

統計量t值的分布稱為t分布。假設隨機變量X服從標准正態分布N(0,1)，Y服從 分布，那么  的分布稱為自由度為n的t分布，記為 

 

可以看出t分布以0為中心，左右對稱的單峰分布；

t分布式一簇曲線，形態變化與n（確切的說自由度v）大小有關，自由度越小，t分布越低平；自由度越大，t分布曲線越接近標准正態分布（u分布）。

6.1 置信區間

已知X~N(μ，1)找一個區間，使得包含μ的真值的概率為95%，假n=5，則：

~ N(μ,  ) ~ N(μ，1/5) 

α = 1 - 95% = 0.05

查表得：

查表的方法：直接在標准正態分布表里面找概率 = 1-α/2 時的 z 取值。

含義：正態分布左側的面積（概率）為0.975時候的橫坐標值。（上分位）

Z_1-α/2：是下分位表示，意思是右側面積為0.975。

注意：置信區間雙側檢驗，所以要α/2.

稱隨機區間為參數μ的置信度為95%的置信區間。

（1）已知總體方差，求總體均值的置信區間

是總體樣本均值；

α是顯著水平（1-置信度），若置信度是95%，則α=1-0.95=0.05；

Z _α/2稱為Z值，可以查找標准正態分布表得到；（z(a/2)指的是標准正態分布的雙側臨界值,z(a)當然就是單側臨界值）

σ：總體的標准差；

n：抽樣出來的樣本個數；

：樣本的標准誤差

（2）未知總體方差，求總體均值μ的置信區間

tα/2(n-1)稱為t值，通過查t分布表得到(t_α/2(n-1) = t_1-α/2(n-1))；

S：樣本的標准差

：樣本的平均誤差

6.2 例題

7、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定頻率的，特點是我們可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。比如我們知道平均1小時生3個嬰兒，請問下一個小時會出生幾個？

泊松分布就是描述某段時間內，事件具體的發生概率：

其中，P表示概率，N(t)表示某種函數關系，t是事件，n是數量。一個小時內出生3個嬰兒的概率表示為P(N(1)=3)，λ表示事件的頻率。

比如接下來兩個小時，一個嬰兒都不出聲的概率為：

接下來一個小時，至少出生兩個嬰兒的概率：

8、指數分布

事件的時間間隔的概率，無記憶性。

例如嬰兒出生的時間間隔，網站訪問的時間間隔。。。。

指數分布可以從泊松分布推到出來，如果下一個嬰兒要間隔時間t，就等同於t內沒有任何嬰兒出生：

9、F分布