數據結構與算法—遞歸(階乘、斐波那契、漢諾塔)

目錄

• 遞歸介紹
• 遞歸求階乘
• 遞歸求斐波那契
• 遞歸解決漢諾塔
• 總結

 

遞歸介紹

遞歸：就是函數自己調用自己。 子問題須與原始問題為同樣的事，或者更為簡單；
遞歸通常可以簡單的處理子問題，但是不一定是最好的。

對於遞歸要分清以下概念：

• 自己調用自己
• 遞歸通常不在意具體操作，只關心初始條件和上下層的變化關系。
• 遞歸函數需要有臨界停止點，即遞歸不能無限制的執行下去。通常這個點為必須經過的一個數。
• 遞歸通常能被其他方案替代(棧、數組正向求)。

認識遞歸，遞歸函數通常簡易但是對於初學者可能很難取理解它。拿一個遞歸函數來說。

static void digui() { System.out.println("bigsai前"); digui(); System.out.println("bigsai后"); } 

是一個遞歸吧？
不是正常遞歸，沒有結束條件，自己一致調用自己死循環。
那正確的遞歸應該這樣

static void digui(int time) { if(time==0) {}//time==0不執行 else { System.out.println("bigsai前time: "+time); digui(time-1); System.out.println("bigsai后time: "+time); } } 

對於這樣一種遞歸，它的執行流程大致是這樣的

所以，調用dugui(5)在控制台輸出是這樣的

那么，我想你對遞歸函數執行的流程應該有所了解了吧。

遞歸求階乘

求 n!=n*(n-1)*-----*1=n!=n*(n-1)
所以階乘的上下級的關系很容易找到。我們假設一個函數jiecheng(n)為求階乘的函數。
這個階乘，你可以這樣命名：

int jiecheng(int n) { int va=1; for(int i=n;i>0;i--) { va*=i; } return i; } 

但是你還可以簡便這樣：

static int jiecheng(int n) { if(n==0)//0的階乘為1 { return 1; } else { return n*jiecheng(n-1);//return n*(n-1)*jiecheng(n-2)=------- } } 

運行流程為這樣：

遞歸求斐波那契

按照上述思想，我們假設求斐波那契設成F(n)；
首先，斐波那契的公式為：

• F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=3,F[1]=1,F[2]=1)
• 也就是除了n=1和2特殊以外，其他均是可以使用遞推式。

那么遞推實現的代碼為：

static long F(int n) { if(n==1||n==2) {return 1;} else { return F(n-1)+F(n-2); } } 

其實它的調用流程為：

當然，其效率雖然不高，可以打表優化，后面可能還會介紹矩陣快速冪優化！

遞歸解決漢諾塔

漢諾塔是經典遞歸問題：

相傳在古印度聖廟中，有一種被稱為漢諾塔(Hanoi)的游戲。該游戲是在一塊銅板裝置上，有三根桿(編號A、B、C)，在A桿自下而上、由大到小按順序放置64個金盤(如下圖)。游戲的目標：把A桿上的金盤全部移到C桿上，並仍保持原有順序疊好。操作規則：每次只能移動一個盤子，並且在移動過程中三根桿上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過程中盤子可以置於A、B、C任一桿上。

1. 如果A只有一個（A->C）
2. 如果A有兩個（A->B）,(A->C),(B->C)
3. 如果A有三個（A->C）,(A->B),(C->B),(A->C),(B->A),(B->C),(A->C).
4. 如果更多，那么將會爆炸式增長。
   

可以發現每增加一步，其中的步驟會多很多。但是不妨這樣想：

• 當有1個要從A->C時，且已知移動方式。使用函數表示move（a->c）。同理其他move操作。
• -------省略中間若干步驟不看，用遞歸思想看問題

分析：n個從a—>c和n-1個a—>c有什么聯系？(hannuo(n)—>hannuo(n-1)有啥關系)
假設有n個盤子

• hannuo(n-1)之后n-1個盤子從A—>C.
  
• 此時剩下底下最大的，只能移動到B，move(A,B)
  
• 那么你是否發現什么眉目了，只需原先的huannuo(n-1)相同操作從C—>B即可完成轉移到B；那么我們的之前函數應該寫成hannuo(n-1,A,C)但是又用到B，所以把B傳進來hannuo(n-1,A,B,C)先表示為從n-1個從A(借助B執行若干操作)轉到C。
  
• 這一系列操作使得將n個盤子從A—>B但是我們要的是A—>C才是需要的hannuo(n,A,B,C);那么我們只需要更改下hannuo(n-1,----)順序就好啦！

經過上面分析，那么完整的操作為：

package 遞歸; public class hannuota { static void move(char a,char b) { System.out.println("移動最上層的"+ a+ "到"+ b+ "\t"); } static void hannuota(int n,char a,char b,char c)//主要分析每一大步對於下一步需要走的。 { if(n==1) {move(a,c);}//從a移到c else { hannuota(n-1,a,c,b);//將n-1個從a借助c移到b move(a,c); //將第n（最后一個）從a移到c。 hannuota(n-1,b,a,c);//再將n-1個從b借助a移到c } } public static void main(String[] args) { hannuota(5,'a','b','c'); } } 

總結

其實遞歸在某些場景的效率是很低下的。尤其是斐波那契.從圖你就可以發現一個簡單的操作有多次重復。因為它的遞歸調用倆個自己.那么它的遞歸的膨脹率是指數級別的，重復了大量相同計算。當然這種問題也有優化方案的：

• 從前往后打表計算，采用類似動態規划的思想。從前往后考慮。比如斐波那契F[n]=F[n-1]+F[n-2];那么我用數組儲存。從第三項開始F[3]=F[2]+F[1](均已知)，再F[4]=F[3]+F[2]-----這樣，時間復雜度是O(N),線性的。
• 當然，對於階乘那種遞歸雖然時間是沒有減少，但是如果需要多次訪問一個階乘，那么可以采用同樣思想(打表)解決問題。

最后，筆者能力有限，如果有描述不恰當還請指正，感謝前面動態圖(未找到原作者)和漢諾塔動圖開源作者isea533的開源作品。同時，如果有喜歡學習交流的歡迎關注筆者公眾號：bigsai 回復數據結構贈送精美資料一份！