楊輝三角—知識點詳解

楊輝三角

楊輝三角（歐洲叫帕斯卡三角）是一個很奇妙的東西，它是我國數學家楊輝在1261年發現的，歐洲的帕斯卡於1654年發現，比我國的巨佬數學家楊輝晚了393年。（在此show一下我的愛國情懷）

鋪墊知識

(1)二項式系數

二項式系數，定義為\((1+x)^n\)展開之后\(x\)的系數。

通常來講，二項式系數代表的是從\(n\)件物品中，無序地選取\(k\)件的方法總數，如果你讀過我全排列的博客鏈接，那么你會發現，這就是我們定義的“組合數”。

證明也比較簡單：

我們假設上述的\(n=4，k=2\)，通過組合數公式可以得出組合數為6.

假如我們把\((1+x)^4\)展開並標記每一個\(x\)，就會得到：

\[(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)(1+x_4) \]

上式等於：

\[(1+x_1)\cdots(1+x_4)=\cdots+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4+\cdots \]

我們發現，假如把標記去掉，這個\(x^2\)的系數正好等於6.

也就證明了：\((1+x)^n\)中\(x^k\)的系數正好等於從\(n\)個元素中選取\(k\)個元素的組合數（\(C_n^k\)）.

楊輝三角性質

楊輝三角（帕斯卡三角），是二項式系數在三角形中的幾何排列。我們看一發楊輝三角的圖，並在此圖上進行后續的講解：（版權：轉載自百度）

我們從這張楊輝三角示意圖上發現，楊輝三角的每行行首與每行結尾的數都為1.而且，每個數等於其左上及其右上二數的和。這樣我們發現，楊輝三角左右對稱。

那么我們就可以通過這些基本概念把這個楊輝三角同我們所說的組合數即二項式系數聯系在一起：

通過剛才的知識鋪墊，我們發現，第i行的第j個數，我們可以用\(C_{i}^{j}\)來表示從\(i\)個元素中選取\(j\)個元素的組合數。（注意，這里的第i行是從0計數）並且，由於對稱性，我們可以發現，楊輝三角中第n行的第m個數恆等於本行的第n-m+1個數。

與二項式系數知識點進行結合，我們會發現\((1+x)^n\)展開后，各次數的系數正好對應第\(n\)行的每一項。

楊輝三角代碼實現的遞推公式

在很多題目中，我們常常需要用打表的形式先處理出楊輝三角矩陣，然后再以此為基礎進行程序求解。那么我們打表的時候如果手存表格的話，不僅浪費考試時間，而且保證不了空間范圍和正確性，這個時候需要我們使用遞推的手段用程序處理出表格。

根據楊輝三角的性質，我們推出以下的遞推公式：（如果看完了上面這些，這個還看不懂的話，就退役吧）

\[C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]; \]

楊輝三角的基本知識點大約是這個樣子。

大家需要用一些例題鞏固。