假設我們現在拿到了一個非常大的數組，對於這個數組里面的數字要反復不斷地做兩個操作。
1、（query）隨機在這個數組中選一個區間，求出這個區間所有數的和。
2、（update）不斷地隨機修改這個數組中的某一個值。
時間復雜度：
枚舉：
枚舉L~R的每個數並累加。
- query：O（n）
找到要修改的數直接修改。
- update：O（1）
如果query與update要做很多很多次，query的O（n）會被卡住，所以時間復雜度會非常慢。那么有沒有辦法把query的時間復雜度降成O（1）呢？其中一種方法如下：
- 先建立一個與a數組一樣大的數組。
- s[1]=a[1];s[2]=a[1]+a[2];s[3]=a[1]+a[2]+a[3];...;s[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]（在s數組中存入a的前綴和）
- 此時a[L]+a[L+1]+...+a[R]=s[R]-s[L-1]，query的時間復雜度降為O（1）。
- 但若要修改a[k]的值，隨之也需修改s[k],s[k+1],...,s[n]的值，時間復雜度升為O（n）。
前綴和：
query：O（1）
update：O（n）
- 我們發現，當我們想盡方法把其中一個操作的時間復雜度改成O（1）后，另一個操作的時間復雜度就會變為O（n）。當query與update的操作特別多時，不論用哪種方法，總體的時間復雜度都不會特別快。
- 所以，我們將要討論一種叫線段樹的數據結構，它可以把這兩個操作的時間復雜度平均一下，使得query和update的時間復雜度都落在O（n log n）上，從而增加整個算法的效率。
線段樹
假設我們拿到了如下長度為6的數組：
在構建線段樹之前，我們先闡述線段樹的性質：
1、線段樹的每個節點都代表一個區間。
2、線段樹具有唯一的根節點，代表的區間是整個統計范圍，如[1,N]。
3、線段樹的每個葉節點都代表一個長度為1的元區間[x,x]。
4、對於每個內部節點[l,r]，它的左子結點是[l,mid]，右子節點是[mid+1,r]，其中mid=(l+r)/2（向下取整）。
依照這個數組，我們構建如下線段樹（結點的性質為sum）：
若我們要求[2-5]區間中數的和：
若我們要把a[4]改為6：
- 先一層一層找到目標節點修改，在依次向上修改當前節點的父節點。
接下來的問題是：如何保存這棵線段樹？
- 用數組存儲。
若我們要取node結點的左子結點（left）與右子節點（right），方法如下：
- left=2*node+1
- right=2*ndoe+2
舉結點5為例（左子結點為節點11，右子節點為節點12）：
- left5=2*5+1=11
- right5=2*5+2=12
接下來給出建樹的代碼：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N = 1000; int a[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11}; int size = 6; int tree[N] = {0}; //建立范圍為a[start]~a[end]
void build(int a[], int tree[], int node/*當前節點*/, int start, int end){ //遞歸邊界(即遇到葉子節點時)
if (start == end){ //直接存儲a數組中的值
tree[node] = a[start]; } else { //將建立的區間分成兩半
int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1;//左子節點的下標
int right = 2 * node + 2;//右子節點的下標 //求出左子節點的值(即從節點left開始,建立范圍為a[start]~a[mid])
build(a, tree, left, start, mid); //求出右子節點的值(即從節點right開始,建立范圍為a[start]~a[mid])
build(a, tree, right, mid+1, end); //當前節點的職位左子節點的值加上右子節點的值
tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } int main(){ //從根節點(即節點0)開始建樹,建樹范圍為a[0]~a[size-1]
build(a, tree, 0, 0, size-1); for(int i = 0; i <= 14; i ++) printf("tree[%d] = %d\n", i, tree[i]); return 0; }
運行結果：
update操作：
- 確定需要改的分支，向下尋找需要修改的節點，再向上修改節點值。
- 與建樹的函數相比，update函數增加了兩個參數x，val，即把a[x]改為val。
例：把a[x]改為6（代碼實現）
void update(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int x, int val){ //找到a[x],修改值
if (start == end){ a[x] = val; tree[node] = val; } else { int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; if (x >= start && x <= mid) {//如果x在左分支
update(a, tree, start, mid, x, val); } else {//如果x在右分支
update(a, tree, right, mid+1, end, x, val); } //向上更新值
tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } 在主函數中調用： //把a[x]改成6
update(a, tree, 0, 0, size-1, 4, 6);
運行結果：
query操作：
- 向下依次尋找包含在目標區間中的區間，並累加。
- 與建樹的函數相比，query函數增加了兩個參數L，Rl，即把求a的區間[L,R]的和。
例：求a[2]+a[3]+...+a[5]的值（代碼實現）
int query(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int L,int R){ //若目標區間與當時區間沒有重疊,結束遞歸返回0
if (start > R || end < L){ return 0; } //若目標區間包含當時區間,直接返回節點值
else if (L <=start && end <= R){ return tree[node]; } else { int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; //計算左邊區間的值
int sum_left = query(a, tree, left, start, mid, L, R); //計算右邊區間的值
int sum_right = query(a, tree, right, mid+1, end, L, R); //相加即為答案
return sum_left + sum_right; } } 在主函數中調用： //求區間[2,5]的和
int ans = query(a, tree, 0, 0, size-1, 2, 5); printf("ans = %d", ans);
運行結果：
最后，獻上完整的代碼：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N = 1000; int a[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11}; int size = 6; int tree[N] = {0}; //建立范圍為a[start]~a[end]
void build(int a[], int tree[], int node/*當前節點*/, int start, int end){ //遞歸邊界(即遇到葉子節點時)
if (start == end) { //直接存儲a數組中的值
tree[node] = a[start]; } else { //將建立的區間分成兩半
int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1;//左子節點的下標
int right = 2 * node + 2;//右子節點的下標 //求出左子節點的值(即從節點left開始,建立范圍為a[start]~a[mid])
build(a, tree, left, start, mid); //求出右子節點的值(即從節點right開始,建立范圍為a[start]~a[mid])
build(a, tree, right, mid+1, end); //當前節點的職位左子節點的值加上右子節點的值
tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } void update(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int x, int val){ //找到a[x],修改值
if (start == end){ a[x] = val; tree[node] = val; } else { int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; if (x >= start && x <= mid) {//如果x在左分支
update(a, tree, left, start, mid, x, val); } else {//如果x在右分支
update(a, tree, right, mid+1, end, x, val); } //向上更新值
tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } //求a[L]~a[R]的區間和
int query(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int L,int R){ //若目標區間與當時區間沒有重疊,結束遞歸返回0
if (start > R || end < L){ return 0; } //若目標區間包含當時區間,直接返回節點值
else if (L <=start && end <= R){ return tree[node]; } else { int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; //計算左邊區間的值
int sum_left = query(a, tree, left, start, mid, L, R); //計算右邊區間的值
int sum_right = query(a, tree, right, mid+1, end, L, R); //相加即為答案
return sum_left + sum_right; } } int main(){ //從根節點(即節點0)開始建樹,建樹范圍為a[0]~a[size-1]
build(a, tree, 0, 0, size-1); for(int i = 0; i <= 14; i ++) printf("tree[%d] = %d\n", i, tree[i]); printf("\n"); //把a[x]改成6
update(a, tree, 0, 0, size-1, 4, 6); for(int i = 0; i <= 14; i ++) printf("tree[%d] = %d\n", i, tree[i]); printf("\n"); //求區間[2,5]的和
int ans = query(a, tree, 0, 0, size-1, 2, 5); printf("ans = %d", ans); return 0; }
運行結果：
