配湊法

前言

配湊法也是高中數學中比較常用的一種數學方法。

使用場景

• 為了將分式函數化簡，使用配湊法；

• 為了使用均值不等式，使用配湊法；

典例剖析

例1 【配湊和為定值，為使用均值不等式】已知\(x，y>0\)，\(2x+3y=4\)，求\(xy\)的最大值；

法1：\(xy=\cfrac{6xy}{6}=\cfrac{(2x)\cdot (3y)}{6}\leq \cfrac{1}{6}\cdot \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2=\cfrac{2}{3}\)

當且僅當

法2：代換法，變量集中。

例2 【配湊為消去一部分分母，便於使用均值不等式】已知\(a>1，b>0， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。

分析：由於\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\)，

故\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b})\times 3\) \(=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b})\times [(a-1)+b]\)

\(=\cfrac{1}{3}(1+4+\cfrac{b}{a-1}+\cfrac{4(a-1)}{b})\geqslant \cfrac{1}{3}(5+2\sqrt{4})=3\)，

當且僅當

例3 【】研究函數\(f(x)=\cfrac{x^2}{3-x}\)的圖像或者單調性，

分析：

①[配湊法]變形，\(\cfrac{x^2}{3-x}=-\cfrac{x^2}{x-3}=-\cfrac{(x-3)^2+6x-9}{x-3}\)\(=-(x-3)-\cfrac{6x-18+9}{x-3}=-(x-3)-\cfrac{9}{x-3}-6\)\(=-[(x-3)+\cfrac{9}{x-3}]-6\)；

其圖像可以借助\(f(x)=x+\cfrac{9}{x}\)的圖像變換得到，借助圖像就可以研究其所有性質了；

②[換元法]變形，令\(3-x=t\)，則\(x=3-t\)，則\(f(x)=\cfrac{x^2}{3-x}=\cfrac{(3-t)^2}{t}\)\(=\cfrac{t^2-6t+9}{t}=t+\cfrac{9}{t}-6=(3-x)+\cfrac{9}{3-x}-6\)\(=-[(x-3)+\cfrac{9}{x-3}]-6\)；

③也可以使用導數法研究，但是和上述方法[其優越性在於能用上我們積累的常用的模板函數的性質]相比，感覺繁瑣，

例4 已知函數\(f(x)\)滿足條件 \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)的解析式；

分析： \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^2-1\)，

注意右端需要配湊出以\(\sqrt{x}+1\)為整體變量的代數式，以便於下一步的代換，到此配湊工作結束；

令\(\sqrt{x}+1=t\)，則新元\(t\ge 1\)

故解析式為\(f(t)=t^2-1(t\ge 1)\)，再將自變量替換為我們適應的\(x\)，

則所求的解析式為\(f(x)=x^2-1(x\ge 1)\)。

解后反思：在等號的右端配湊出關於自變量整體的代數式，然后做代換。