PCA主成分分析法的數據主成分分析過程及python原理實現
1、對於主成分分析法，在求得第一主成分之后，如果需要求取下一個主成分，則需要將原來數據把第一主成分去掉以后再求取新的數據X’的第一主成分，即為原來數據X的第二主成分，循環往復即可。
2、利用PCA算法的原理進行數據的降維，其計算過程的數學原理如下所示，其降維的過程會丟失一定的信息，因此采用恢復過程恢復原來的高維數據后，它會恢復為原來數據在新的主成分上的映射點，而不再是原來的坐標點。
（1）高維數據的降維（從n維降到k維數據）
（2）從降維得到k維數據恢復到原來的n維數據集
3、具體的數據降維實現原理代碼如下所示:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x=np.empty((100,2))
x[:,0]=np.random.uniform(0.0,100.0,size=100)
x[:,1]=0.75*x[:,0]+3.0*np.random.normal(0,3,size=100)
plt.figure()
plt.scatter(x[:,0],x[:,1])
plt.show()
#demean操作函數定義
def demean(x):
return x-np.mean(x,axis=0)
print(x)
print(np.mean(x,axis=0))
print(demean(x))
print(np.mean(demean(x),axis=0))
x_demean=demean(x)
#梯度上升法的函數定義
def f(w,x):
return np.sum((x.dot(w))**2)/len(x)
def df_math(w,x):
return x.T.dot(x.dot(w))*2/len(x)
def df_debug(w,x,epsilon=0.00001):
res=np.empty(len(x))
for i in range(len(x)):
w1=w.copy()
w1[i]=w1[i]+epsilon
w2= w.copy()
w2[i] =w2[i]-epsilon
res[i]=(f(w1,x)-f(w2,x))/(2*epsilon)
return res
def derection(w):
return w/np.linalg.norm(w)
def gradient_ascent1(x,eta,w_initial,erro=1e-8, n=1e6):
w=w_initial
w=derection(w)
i=0
while i<n:
gradient =df_math(w,x)
last_w = w
w = w + gradient * eta
w = derection(w) #注意1：每次都需要將w規定為單位向量
if (abs(f(w,x) - f(last_w,x))) < erro:
break
i+=1
return w
w0=np.random.random(x.shape[1]) #注意2：不能從0向量開始
print(w0)
eta=0.001 #注意3：不能將數據進行標准化，即不可以使用standardscaler進行數據標准化
w1=gradient_ascent1(x_demean,eta,w0)
print(w1)
q=np.linspace(-40,40)
Q=q*w1[1]/w1[0]
plt.figure(1)
plt.scatter(x[:,0],x[:,1])
plt.plot(q,Q,"r")
print(w1[1]/w1[0])
#求取數據的前n個的主成分，循環往復即可
x2=np.empty(x.shape)
for i in range(len(x)):
x2[i]=x_demean[i]-x_demean[i].dot(w1)*w1
plt.figure()
plt.scatter(x2[:,0],x2[:,1],color="g")
plt.show()
w00=np.random.random(x.shape[1])
print(w00)
w2=gradient_ascent1(x2,eta,w00)
print(w2)
#求取n維數據的前n個主成分的封裝函數
def first_n_compnent(n,x,eta=0.001,erro=1e-8, m=1e6):
x_pca=x.copy()
x_pca=demean(x_pca)
res=[]
for i in range(n):
w0=np.random.random(x.shape[1])
w=gradient_ascent1(x_pca,eta,w0)
res.append(w)
x_pca=x_pca-x_pca.dot(w).reshape(-1,1)*w
return res
print(first_n_compnent(2,x))
實際的運行效果如下所示：
