工作原理
聚類是一種無監督的學習，它將相似的對象歸到同一個簇中。類似於全自動分類（自動的意思是連類別都是自動構建的）。K-均值算法可以發現k個不同的簇，且每個簇的中心采用簇中所含值的均值計算而成。它的工作流程的偽代碼表示如下：
創建k個點作為起始質心
當任意一個點的簇分配結果發生改變時
對數據集中的每個數據點
對每個質心
計算質心與數據點之間的距離
將數據點分配到距其最近的簇
對每一個簇，計算簇中所有點的均值並將均值作為質心
python實現
首先是兩個距離函數，一般采用歐式距離
def distEclud(self, vecA, vecB):
return np.linalg.norm(vecA - vecB)
def distManh(self, vecA, vecB):
return np.linalg.norm(vecA - vecB,ord = 1)
然后是randcent(),該函數為給點的數據集構建一個包含k個隨機質心的集合
def randCent(self, X, k):
n = X.shape[1] # 特征維數，也就是數據集有多少列
centroids = np.empty((k, n)) # k*n的矩陣，用於存儲每簇的質心
for j in range(n): # 產生質心，一維一維地隨機初始化
minJ = min(X[:, j])
rangeJ = float(max(X[:, j]) - minJ)
centroids[:, j] = (minJ + rangeJ * np.random.rand(k, 1)).flatten()
return centroids
對於kMeans和biKmeans的實現，參考了scikit-learn中kMeans的實現，將它們封裝成類。
- n_clusters —— 聚類個數，也就是k
- initCent —— 生成初始質心的方法,'random'表示隨機生成，也可以指定一個數組
- max_iter —— 最大迭代次數
class kMeans(object):
def __init__(self, n_clusters=10, initCent='random', max_iter=300):
if hasattr(initCent, '__array__'):
n_clusters = initCent.shape[0]
self.centroids = np.asarray(initCent, dtype=np.float)
else:
self.centroids = None
self.n_clusters = n_clusters
self.max_iter = max_iter
self.initCent = initCent
self.clusterAssment = None
self.labels = None
self.sse = None
# 計算兩個向量的歐式距離
def distEclud(self, vecA, vecB):
return np.linalg.norm(vecA - vecB)
# 計算兩點的曼哈頓距離
def distManh(self, vecA, vecB):
return np.linalg.norm(vecA - vecB, ord=1)
# 為給點的數據集構建一個包含k個隨機質心的集合
def randCent(self, X, k):
n = X.shape[1] # 特征維數，也就是數據集有多少列
centroids = np.empty((k, n)) # k*n的矩陣，用於存儲每簇的質心
for j in range(n): # 產生質心，一維一維地隨機初始化
minJ = min(X[:, j])
rangeJ = float(max(X[:, j]) - minJ)
centroids[:, j] = (minJ + rangeJ * np.random.rand(k, 1)).flatten()
return centroids
def fit(self, X):
# 聚類函數
# 聚類完后將得到質心self.centroids,簇分配結果self.clusterAssment
if not isinstance(X, np.ndarray):
try:
X = np.asarray(X)
except:
raise TypeError("numpy.ndarray required for X")
m = X.shape[0] # 樣本數量
self.clusterAssment = np.empty((m, 2)) # m*2的矩陣，第一列表示樣本屬於哪一簇，第二列存儲該樣本與質心的平方誤差(Squared Error,SE)
if self.initCent == 'random': # 可以指定質心或者隨機產生質心
self.centroids = self.randCent(X, self.n_clusters)
clusterChanged = True
for _ in range(self.max_iter):# 指定最大迭代次數
clusterChanged = False
for i in range(m): # 將每個樣本分配到離它最近的質心所屬的簇
minDist = np.inf
minIndex = -1
for j in range(self.n_clusters): #遍歷所有數據點找到距離每個點最近的質心
distJI = self.distEclud(self.centroids[j, :], X[i, :])
if distJI < minDist:
minDist = distJI
minIndex = j
if self.clusterAssment[i, 0] != minIndex:
clusterChanged = True
self.clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist ** 2
if not clusterChanged: # 若所有樣本點所屬的簇都不改變,則已收斂，提前結束迭代
break
for i in range(self.n_clusters): # 將每個簇中的點的均值作為質心
ptsInClust = X[np.nonzero(self.clusterAssment[:, 0] == i)[0]] # 取出屬於第i個族的所有點
if(len(ptsInClust) != 0):
self.centroids[i, :] = np.mean(ptsInClust, axis=0)
self.labels = self.clusterAssment[:, 0]
self.sse = sum(self.clusterAssment[:, 1]) # Sum of Squared Error,SSE
kMeans的缺點在於——可能收斂到局部最小值。采用SSE(Sum of Squared Error，誤差平方和)來度量聚類的效果。SSE值越小表示數據點越接近於它們的質心，聚類效果也越好。
為了克服kMeans會收斂於局部最小值的問題，有人提出了一個稱為二分K-均值的算法。該算法偽代碼如下：
將所有點看成一個簇
當簇數目小於k時
對於每個簇
計算總誤差
在給定的簇上面進行K-均值聚類(k=2)
計算將該簇一分為二之后的總誤差
選擇使得誤差最小的那個簇進行划分操作
python代碼如下：
class biKMeans(object):
def __init__(self, n_clusters=5):
self.n_clusters = n_clusters
self.centroids = None
self.clusterAssment = None
self.labels = None
self.sse = None
# 計算兩點的歐式距離
def distEclud(self, vecA, vecB):
return np.linalg.norm(vecA - vecB)
# 計算兩點的曼哈頓距離
def distManh(self, vecA, vecB):
return np.linalg.norm(vecA - vecB,ord = 1)
def fit(self, X):
m = X.shape[0]
self.clusterAssment = np.zeros((m, 2))
if(len(X) != 0):
centroid0 = np.mean(X, axis=0).tolist()
centList = [centroid0]
for j in range(m): # 計算每個樣本點與質心之間初始的SE
self.clusterAssment[j, 1] = self.distEclud(np.asarray(centroid0), X[j, :]) ** 2
while (len(centList) < self.n_clusters):
lowestSSE = np.inf
for i in range(len(centList)): # 嘗試划分每一族,選取使得誤差最小的那個族進行划分
ptsInCurrCluster = X[np.nonzero(self.clusterAssment[:, 0] == i)[0], :]
clf = kMeans(n_clusters=2)
clf.fit(ptsInCurrCluster)
centroidMat, splitClustAss = clf.centroids, clf.clusterAssment # 划分該族后，所得到的質心、分配結果及誤差矩陣
sseSplit = sum(splitClustAss[:, 1])
sseNotSplit = sum(self.clusterAssment[np.nonzero(self.clusterAssment[:, 0] != i)[0], 1])
if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:
bestCentToSplit = i
bestNewCents = centroidMat
bestClustAss = splitClustAss.copy()
lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit
# 該族被划分成兩個子族后,其中一個子族的索引變為原族的索引，另一個子族的索引變為len(centList),然后存入centList
bestClustAss[np.nonzero(bestClustAss[:, 0] == 1)[0], 0] = len(centList)
bestClustAss[np.nonzero(bestClustAss[:, 0] == 0)[0], 0] = bestCentToSplit
centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0, :].tolist()
centList.append(bestNewCents[1, :].tolist())
self.clusterAssment[np.nonzero(self.clusterAssment[:, 0] == bestCentToSplit)[0], :] = bestClustAss
self.labels = self.clusterAssment[:, 0]
self.sse = sum(self.clusterAssment[:, 1])
self.centroids = np.asarray(centList)
上述函數運行多次聚類會收斂到全局最小值，而原始的kMeans()函數偶爾會陷入局部最小值。
算法實戰
對mnist數據集進行聚類
從網上找的數據集data.pkl。該數據集是mnist中選取的1000張圖，用t_sne降維到了二維。
讀取文件的代碼如下：
dataSet, dataLabel = pickle.load(open('data.pkl', 'rb'), encoding='latin1')
print(type(dataSet))
print(dataSet.shape)
print(dataSet)
print(type(dataLabel))
print(dataLabel.shape)
print(dataLabel)
打印出來結果如下：
<class 'numpy.ndarray'>
(1000, 2)
[[ -0.48183008 -22.66856528]
[ 11.5207274 10.62315075]
[ 4.76092787 5.20842437]
...
[ -8.43837464 2.63939773]
[ 20.28416829 1.93584107]
[-21.19202119 -4.47293397]]
<class 'numpy.ndarray'>
(1000,)
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 9 5 5 6 5 0
9 8 9 8 4 1 7 7 3 5 1 0 0 2 2 7 8 2 0 1 2 6 3 3 7 3 3 4 6 6 6 ...
3 7 3 3 4 6 6 6 4 9 1 5 0 9 5 2 8 2 0 0 1 7 6 3 2 1 4 6 3 1 3 9 1 7 6 8 4 3]
開始使用之前編寫的算法聚類，並多次運行保存sse最小的一次所得到的圖。
def main():
dataSet, dataLabel = pickle.load(open('data.pkl', 'rb'), encoding='latin1')
k = 10
clf = biKMeans(k)
lowestsse = np.inf
for i in range(10):
print(i)
clf.fit(dataSet)
cents = clf.centroids
labels = clf.labels
sse = clf.sse
visualization(k, dataSet, dataLabel, cents, labels, sse, lowestsse)
if(sse < lowestsse):
lowestsse = sse
if __name__ == '__main__':
main()
小結
聚類是一種無監督的學習方法。所謂無監督學習是指事先並不知道要尋找的內容，即沒有目標變量。聚類將數據點歸到多個簇中，其中相似數據點處於同一簇，而不相似數據點處於不同簇中。聚類中可以使用多種不同的方法來計算相似度(比如本文是使用距離度量)
K-均值算法是最為廣泛使用聚類算法，其中的k是指用戶指定要創建的簇的數目。K-均值聚類算法以k個隨機質心開始。算法會計算每個點到質心的距離。每個點會被分配到距其最近的簇質心，然后緊接着基於新分配到簇的點更新簇質心。以上過程重復數次，直到簇質心不再改變。這種方法易於實現，但容易受到初始簇質心的影響，並且收斂到局部最優解而不是全局最優解。
還有一種二分K-均值的算法，可以得到更好的聚類效果。首先將所有點作為一個簇，然后使用K-均值算法(k=2)對其划分。下一次迭代時，選擇有最大誤差的簇進行划分。該過程重復直到k個簇創建成功為止。
附錄
文中代碼及數據集：https://github.com/Professorchen/Machine-Learning/tree/master/kMeans