OUTLINE
- 前言
- VRPTW description
- column generation
- Illustration
- code
- reference
00 前言
此前向大家介紹了列生成算法的詳細過程，以及下料問題的代碼。相信各位小伙伴對column generation已經有了一個透徹的了解了。今天我們在來一點干貨，用column generation求解vehicle routing problems。
01 VRPTW description
關於VRPTW問題的描述，以及建模方式，可以參照此文干貨|十分鍾快速掌握CPLEX求解VRPTW數學模型（附JAVA代碼及CPLEX安裝流程）。不過今天給大家帶來的是VRPTW的另外一個建模方式，它是在傳統的模型上利用了Dantzig-Wolfe decomposition分解算法得到的。
關於Dantzig-Wolfe decomposition分解算法，可以參照文章：
Formulation：[1]
- $\Omega $ ：the set of feasible vehicle routes, i.e., the set of paths in G issued from the
depot, going to the depot, satisfying capacity and time window constraints and visiting
at most once each customer. - \(c_k\) ：the cost of route \(r_k \in \Omega\).
- $ a_{ik}$ ：= 1 if route\(r_k\)visits customer\(v_i\) and = 0 otherwise.
- $ b_{ijk}$ ：= 1 if route\(r_k\)uses arc\((v_i,v_j)\)and = 0 otherwise.
The VRPTW can be described with the following set covering model:
where \(θ_k\) indicates whether route \(r_k\) is selected (\(θ_k\) = 1) or not (\(θ_k\) = 0) in the solution.其中\(v_0\)是depot點。
其中：
- 約束1保證了每個Customer都至少被服務一次。
- 約束2限制了車輛的使用數量。
- $\theta_k \(定義為整數，但顯然當\)\theta_k > 1$時解都不是最優的。這樣做的目的是為了后續使用column generation時獲得一個更好的線性松弛。
02 column generation
從上面的模型中，先來討論一個點，用\(S(\Omega)\)表示集合\(\Omega\)里面的路徑數量，n表示Customer的點數，那么
\(S(\Omega)\)和n的關系可以看下表：
| \(S(\Omega)\) | n |
|---|---|
| 10 | \((A_{10}^2+A_{10}^3+A_{10}^4+...+A_{10}^{10})/2\) |
| 20 | \((A_{20}^2+A_{20}^3+A_{20}^4+...+A_{20}^{20})/2\) |
| ... | ... |
| 100 | \((A_{100}^2+A_{100}^3+A_{100}^4+...+A_{100}^{100})/2\) |
可以看出，變量\(\theta\)的數目隨着問題規模n的增長會爆炸式的增長。這時候，顯然branch and bound這類的算法已經無能為力了，因為變量數目太多太多，搜索樹會有多少個分支想都不敢想。
所以，我們上一節課講的column generation就派上用場辣。如果相關概念還不清楚的就趕緊回去翻一翻上一次課的內容吧。
2.1 Master Problem(MP)
我們知道，column generation是求解linear program的，因為上面的model是一個整數規划模型，還不能直接挪過來當Master Problem。
在此之前，我們需要將\(\theta_k \in N\)給線性松弛一下變成\(\theta_k >= 0\)。這下\(\theta_k\)就從整數變量松弛為線性變量了。由此我們可以得出問題的Master Problem如下：
2.2 Restricted Master Problem(RMP)
在上述模型中，約束5中的列直觀表現為一條可行的路徑\(r_k\)，現在要Restricted一下我們的Master Problem，直接Restricted Master Problem中的 \(\Omega\)即可。我們設\(\Omega_1 \subset \Omega\)，那么Restricted Master Problem可以表示為：
然后我們再順便把RMP的對偶model也寫出來，便於后續對偶變量的求解：
在對偶模型中：
- \(\lambda_i\)是非負的對偶變量，對應着約束(9)。
- \(\lambda_0\)是非負的對偶變量，對應着約束(10)。
2.3 Subproblem
子問題要做的就是找一條路\(r_k \in \Omega \setminus \Omega_1\)使得，
其中，\(r_k\)受到的約束：
- 從depot出發，最終回到depot。
- 滿足容量和時間窗的約束。
03 Illustration
在這一節我們將會給大家帶來一個簡單的VRPTW實例，詳細演示一下column generation求解VRPTW的過程。大家可以再次熟悉一下column generation的原理。
假如我們有以下的一個very simple的VRPTW問題：
其中：
- 邊上數字表示路徑的距離。
- 點上的區間表示時間窗。
- 為了更加簡化問題，我們假設車的容量足夠大（總是能容量約束），車的數量足夠多（總是能滿足數量約束）。
Start
一開始我們很容易找到一個初始的路徑集合$\Omega_1 = {(v_0,v_1,v_0),(v_0,v_2,v_0),(v_0,v_3,v_0) } $。
服務所有的Customer。所以得到的Restricted Master Problem和Dual programs如下：
Iteration 1
RMP ( $\Omega_1 = {(v_0,v_1,v_0),(v_0,v_2,v_0),(v_0,v_3,v_0) } $ )：
很容易求得上述模型的最優解為\(\theta = (1,1,1), \lambda = (2,2.8,2)\)。
現在假如subproblem通過啟發式或者什么方法找到了一條路徑$ r_4 = (v_0,v_1,v_2,v_0)\(，路徑\)r_4\(的reduce cost 為3.4-2-2.8 = -1.4 < 0。現在將\)r_4\(加入到\)\Omega_1 $中，開始下一輪迭代。
Iteration 2
RMP ( $\Omega_1 = {(v_0,v_1,v_0),(v_0,v_2,v_0),(v_0,v_3,v_0), (v_0,v_1,v_2,v_0)} $ )：
Again，很容易求得上述模型的最優解為\(\theta = (0,0,1,1), \lambda = (2,1.4,2)\)。
subproblem找到了一條路徑$ r_5 = (v_0,v_1,v_2,v_3,v_0)\(，路徑\)r_5\(的reduce cost 為4-2-1.4-2 = -1.4 < 0。現在將\)r_5\(加入到\)\Omega_1 $中，開始下一輪迭代。
Iteration 3
RMP( $\Omega_1 = {(v_0,v_1,v_0),(v_0,v_2,v_0),(v_0,v_3,v_0), (v_0,v_1,v_2,v_0),(v_0,v_1,v_2,v_3,v_0)} $ )：
求解得到最優解為\(\theta = (0,0,0,0,1), \lambda = (2,1.4,0.6)\)。
現在我們可以easily發現，還剩下兩條route不在\(\Omega_1\)之中了。而這兩條route的reduce cost都非負，列生成算法停止。並且在這個例子中，linear relaxation的解是integer optimal solution。
至此，列生成算法求解VRPTW的過程結束，相信這么詳細的過程大家已經看懂了。
04 code
關於列生成算法求解VRPTW的算法將會在下一期呈現，大家可以先把這兩期的內容好好消化了先。請關注我們的公眾號以獲取最新的消息，在第一時間獲取代碼：
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05 reference
-[1]A tutorial on column generation and branch-and-price for vehicle routing problems, Dominique Feillet