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Blog主現高一，文化課和OI啥都不會
本Blog主太懶，所以很多內容都縮在一個文章里，如數學、圖論大禮包
https://wenku.baidu.com/view/56d76029647d27284b735158.html
Ideas
- 看一個結論： \(n=0,n=1\)的時候顯然成立
\(n\geq2\)時，假設\(n-1,n-2\)都成立，則：\(\sum_{i=k}^n\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\sum_{i=k}^{n-1}\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\tbinom{n}{k+1}=\tbinom{n+1}{k+1}\)
update：底下評論里的AH隊長why執政 指正要把n=k提出來
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\(O(\sum_{d|n} d^{0.5})=O(n ^{0.5 + \epsilon})<O(n^{0.75})\)
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\(x | \frac{n}{y} \Longleftrightarrow y | \frac{n}{x}\)，證明顯然，然而沒想到用
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\(\gcd(a^m - b^m, a^n - b^n)=a^{\gcd(m, n)} - b^{\gcd(m, n)},\gcd(a,b)=1\)
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一個重復2次的子串長度2L，一定包含s[1], s[1 + L], s[1 + 2*L],...,中的某相鄰兩項
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兒子的值對父親有貢獻，考慮樹剖
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線段樹歸並建樹可以處理出對於每個x，左右兒子最大的<=x的樹的多少，這樣可以詢問時可以O(1)轉移，是二維數點常用技巧
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對於LIS可以考慮差分前綴maxf數組，或是記錄二分LIS的單調棧（狀壓技巧）
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對於排列問題一種考慮方式是從1~i推到1~i+1
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區間dp的種種套路：比如斷成2個區間考慮，比如考慮去掉最后一個點（或塊）
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一種線段樹求全局答案的方法：結點只保存完全在區間內的操作，其他操作在祖先處考慮（如掃描線區間覆蓋）
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s個[0,mod]的隨機變量max的期望是mod/(s+1)*s
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\(a-b \leq a \text{ xor } b\)
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若\(a>b,\gcd(a, b)\leq a - b\)
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二維曼哈頓距離最小生成樹：考慮一個45度區域里只有一個最近需要連邊。樹狀數組優化即可。
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在01trie上解決一類問題：每次把當前集合划分成第k位是0和1的兩個集合，遞歸到k-1位去做再考慮合並（叫二進制分組？）
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一個二維問題無法下手，考慮行列分開，可能行列是獨立的。
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設\(m\)為最大數，\(c\)為不同數字個數；一種\(O(n + mc)\)求嚴格LIS：\(f(i, j)\)表示前\(i\)個數以數字\(j\)結尾的LIS，然后這個可以把第一維滾掉。每次\(f(a[i])\)去刷\(f(a[i]+1)\)到\(f(m)\)的值，遇到\(\geq f(a[i])\)就停。冷靜分析一下復雜度很對：\(f\)一共就\(c\)種取值，每種取值最壞把\(m\)個位置都覆蓋一遍。
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求若干個有序數組，每個數組選一個數然后加起來，求\(Kth\)：兩兩合並。合並\(A,B\)，先將\((a[1], b[i])\)入大根堆，每次取出(a[i], b[j])的時候再把\((a[i + 1], b[j])\)丟進去。
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計數dp時，考慮整體的加減和加入最小數；規定一個順序（從小到大）最后乘一下階乘。
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點分治：單調隊列按秩合並以優化復雜度
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模意義下無法開根號？擴域試試！
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據說\(Z=(a+bi)^n\)，\(Z\)的共軛復數的\(n\)次方=\(Z\)的\(n\)次方的共軛復數
證明：用\(Z'=a-bi\)表示\(Z=a+bi\)的共軛復數
先證一個結論：\(A’B‘=(AB)'\)。使用定義即可。
然后歸納，\(n=1\)顯然成立
假設\(n=k\)成立，即\((Z^k)'=(Z')^k\)
兩邊乘以\(Z'\)：\((Z^k)'Z'=(Z')^{k+1}\)
再用一下上面的結論：\((Z^{k+1})'=(Z')^{k+1}\)
Q.E.D
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\([i \bmod 2 = 0]=\frac{(-1)^i+1^i}{2}\)
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無向圖連通圖簡單環個數\(2^{m-n}\)。簡單環可以表示成任意基環xor（基環值任意生成樹，非樹邊與樹上路徑形成的環）。基環可以用dfs在\(O(n+m)\)時間里找到。
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\(\lfloor \frac{a}{c} \rfloor +\lfloor \frac{b}{c} \rfloor \leq \lfloor \frac{a + b}{c} \rfloor\)
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\(\prod (a_i !) \mid (\sum a_i)!\)
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max樹上差分用左偏樹即可。或者反向倍增。
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樹形dp中u選fa必選可以考慮按dfs序dp
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拓撲標記：n到1分配，找出度為0最大點
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聽說隨機點集凸包上點個數的期望是\(O(\sqrt n)\)的
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排列問題有時候可以用預支付思想。
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一個語法小trick：
struct cmp {
bool operator () (const Node &a, const Node &b) const {
return a.d < b.d;
}
};
priority_queue<Node, vector<Node>, cmp> pq;
//用cmp排序，每次取最后一個
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\(d(n)=O(n^{\frac{1.066}{\ln \ln n}})\)，int和ll以內約數個數最大分別為\(10^3\)和\(10^5\)級別
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二維的某些問題考慮標號以2n為基（因為坐標差在-(n-1) 到 (n-1)之間），方便使用卷積。
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帶刪除堆：兩個priority_queue即可實現
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若給定多邊形不知順逆順序，通過符號是否相反來判斷凹凸，及點在多邊形內外。另外求點到線段距離西先求夾角大小。
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令\(n = \prod_{i = 1}^k p_i ^ {c_i}\)，\(f(n) = \max(c_i), g=f*\mu\)
若存在\(c_i \not = c_j\)，則\(g(n) = 0\)。
否則\(𝑔(𝑛)=(−1)^{𝑘+1}\)
Queries
Q1
一個常見的方程\(ax+by=c\)，現在擴歐求出特解\(x_0,y_0\)，然后\(x=x_0-\frac{b}{(a, b)}t, y=y_0+\frac{a}{(a, b)}t\)
現在想找到一組解，在滿足\(|x|+|y|\)是奇數的情況下，\(|x| + |y|\)盡可能小
題解做法是枚舉所有滿足\(| t | \leq 1 + \frac{c}{(a, b)}\)的\(t\)。不知道為啥只要在這個范圍里枚舉。