深入淺出通信原理連載1-21（Python代碼版）

深入淺出通信原理Python代碼版

深入淺出通信原理是陳愛軍的心血之作，於通信人家園連載，此處僅作python代碼筆記訓練所用
陳老師的連載從多項式乘法講起，一步一步引出卷積、傅立葉級數展開、旋轉向量、三維頻譜、IQ調制、數字調制等一系列通信原理知識

目錄

• 深入淺出通信原理Python代碼版
  • 連載1：從多項式乘法說起
  • 連載2：卷積的表達式
  • 連載3: Python計算卷積
  • 連載4：將信號表示成多項式的形式
  • 連載5：歐拉公式證明
  • 理解復數
  • 連載6：利用卷積計算兩個信號的乘積
  • 連載7： 信號進行傅里葉級數展開
  • 連載8：時域信號相乘相當於頻域卷積
  • 連載9：用余弦信號合成方波信號
  • 連載12：正弦信號及余弦信號頻譜圖
  • 余正弦信號的三維頻譜圖
  • 李薩育圖形
  • 實信號和復信號的波形對比

連載1：從多項式乘法說起

\[(x+1)(x^2+2x+5)=x^3+3x^2+7x+5 \]

import sympy
x = sympy.Symbol('x')
sympy.expand((x+1)*(x*x+2*x+5))

這種計算方法總結起來就是：
反褶：一般多項式都是按x的降冪排列，這里將其中一個多項式的各項按x的升冪排列。
平移：將按x的升冪排列的多項式每次向右平移一個項。
相乘：垂直對齊的項分別相乘。
求和：相乘的各結果相加。

反褶、平移、相乘、求和－這就是通信原理中最常用的一個概念“卷積”的計算過程。

連載2：卷積的表達式

將多項式轉換成矩陣形式

\[x+1 -> [1,1]\\ x^2+2x+5 -> [1,2,5]\\ x^3+3x^2+7x+5=[1,1]*[1,2,5]=[1,3,7,5]\\ 其中卷積（*）的運算如下：\\ c(n)=a(n)*b(n)=\sum_{k=0}^n{a（k)b(n-k)},n=0~(n1+n2)\\ 其中n1是a(n)的系數總個數，n2是b(n)的系數總個數 \]

連載3: Python計算卷積

import numpy as np
np.convolve([1,1],[1,2,5]) #上例,result:[1, 3, 7, 5]
# 楊輝三角，輸入行數，輸出對應行的值
def pascal_triangle(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return [1,1]
    else:
        return np.convolve([1,1],pascal_triangle(n-1))
# test code    
for i in range(0,7):
    print(pascal_triangle(i))
    
    
# 楊輝三角，迭代器形式
def triangles():
  nlist=[1]
  while True:
    yield nlist
    nlist.append(0)
    nlist = [nlist[i] + nlist[i-1] for i in range(len(nlist))]
# test code
tr = triangles()
for i in range(0,7):
    print(next(tr))

連載4：將信號表示成多項式的形式

\[Fourier Transform:signal(x) = x_nx^n+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0\\ x^n=f(nw_0)\\ x = cosw_0t+jsinw_0t = e^{jw_0t} = f(w_0)\\ x^2 = (cosw_0t+jsinw_0t)^2 = cos^2w_0t-sin^2w_0t+j2sinw_0tcosw_0t=f(2w_0) \]

連載5：歐拉公式證明

\[歐拉公式:cosw_0t+jsinw_0t=e^{jw_0t} \]

import sympy
x = sympy.Symbol('x')
sympy.series(sympy.exp(sympy.I*x), x, 0, 10) #series perform Taylor expansion
sympy.expand(series(sin(x), x, 0, 10))
sympy.expand(series(cos(x), x, 0, 10))

利用泰勒展開，從輸出結果易看出歐拉公式成立

理解復數

引自[連載23,利用歐拉公式理解復數)

連載6：利用卷積計算兩個信號的乘積

若兩個信號均表示成多項式形式，則可通過卷積計算信號相乘結果。

連載7： 信號進行傅里葉級數展開

周期T的函數f(t)展開成傅里葉級數(直流分量、余弦分量，正選分量多項式之和)：

\[f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_kcoskw_0t+b_ksinkw_0t\\ w=\frac{2\pi}{T}\\ a_k=\frac{2}{T}\int_{-2/T}^{2/T}f(t)cosk\omega_0tdt(k=0,1,2,3\cdots)\\ b_k=\frac{2}{T}\int_{-2/T}^{2/T}f(t)sink\omega_0tdt(k=1,2,3\cdots) \]

展開成復指數信號之和：

\[f(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_ke^{jkw_0t}\\ c_k= \begin{cases} \frac{a_0}{2} &,& k=0 \\ \frac{1}{2}(a_k-jb_k) & , & k=1,2,\cdots \\ \frac{1}{2}(a_{-k}+jb_{-k}) & , & k=-1,-2,\cdots \end{cases} \]

Ref: 書寫多行大括號

ck是復傅里葉系數

以角頻率w為橫軸，傅里葉系數ck為縱軸，畫出頻譜圖

# Further improvement:https://blog.csdn.net/u012915522/article/details/91506120
import matplotlib.pyplot as plt
plt.subplot(3,1,1)
plt.stem([0,1,2,3],[6,5,1,0],use_line_collection=True)
plt.yticks([0,1,5,6])
# plt.axis('off')
plt.xticks([0,1,2,3],('0','w','2w','3w'))
plt.subplot(3,1,2)
plt.stem([0,1,2,3],[2,3,0,0],use_line_collection=True)
plt.xticks([0,1,2,3],('0','w','2w','3w'))
plt.yticks([0,1,2,3])
plt.subplot(3,1,3)
plt.stem([0,1,2,3],[12,28,17,3],use_line_collection=True)
plt.xticks([0,1,2,3],('0',r'$\omega$w','2w','3w'))
plt.yticks([3,17,12,28])
# plt.axis('off')
plt.tight_layout()
plt.show()

連載8：時域信號相乘相當於頻域卷積

由連載6顯然如此

時域	FFT	頻域
f(t)	\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f[n]^{jkw_0t}\)	f[n]
g(t)	$$g(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}g[n]^{jkw_0t}$$	g[n]
y(t)=f(t)g(t)	\(y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}y[n]^{jkw_0t}\)	y[n]=f[n]*g[n]

連載9：用余弦信號合成方波信號

plt.suptitle('逐步合成方波', fontproperties='stsong')
plt.subplot(3,1,1)
x = np.arange(0,20,0.1)
y1 = 0.5+0.637*np.cos(x)
plt.plot(x,y1)
plt.title(r'$y_1(x)=0.5+0.637*cos(x)$',fontsize=10)
plt.subplot(3,1,2)
y2 = 0.5+0.637*np.cos(x)-0.212*np.cos(3*x)
plt.plot(x,y2)
plt.title(r'$y_2(x)=0.5+0.637*cos(x)-0.212cos(3x)$',fontsize=10)
plt.subplot(3,1,3)
y3 = 0.5+0.637*np.cos(x)-0.212*np.cos(3*x)+0.127*np.cos(5*x)
plt.plot(x,y3)
plt.title(r'$y_3(x)=0.5+0.637*cos(x))-0.212cos(3x)+0.127cos(5x)$',fontsize=10)
plt.tight_layout()
plt.show()

連載12：正弦信號及余弦信號頻譜圖

繪制正弦及余弦信號的頻譜圖

# sin(w0t) & cos(w0t) spectrum
fig = plt.figure('Sine & Cosine Wave', (10,8))
ax = axisartist.Subplot(fig, 2,2,1)
# plt.subplot(4,1,1)
fig.add_axes(ax)
# ax.axis[:].set_visible(False) # 隱藏默認坐標軸
# ax.axis["x"] = ax.new_floating_axis(0, 0)
# ax.axis["y"] = ax.new_floating_axis(1, 0)# 新建坐標軸X-Y
# ax.axis["x"].set_axis_direction('top')
# ax.axis["y"].set_axis_direction('left')# 設置刻度標識方向
# ax.axis["x"].set_axisline_style("->", size = 20.0)
ax.axis["bottom"].set_axisline_style("-|>", size = 1.5)
ax.axis["left"].set_axisline_style("->", size = 1.5)
ax.axis["top"].set_visible(False)
ax.axis["right"].set_visible(False)
# ax.axis["y"].set_axisline_style("->", size = 20.0)#加上坐標軸箭頭
ax.stem([-1,1],[0.5,0.5],use_line_collection=True)
ax.set_title('y = cos($\omega_0t$),$c_{-1}=1/2,c_1=1/2$',fontsize = 15, pad = 20)
ax.set_xticks([-1,0,1])
ax.set_xticklabels([r'$-\omega$','0',r'$\omega$'])
ax.set_xlabel('Angular frequency')
ax.set_yticks([0.5])
ax.set_ylabel('magnitude')

ax2 = axisartist.Subplot(fig, 2,2,3)
fig.add_axes(ax2)
ax2.axis["left"].set_axisline_style("->", size = 1.5)
ax2.axis["top"].set_visible(False)
ax2.axis["right"].set_visible(False)
ax2.stem([-1,1],[0,0],use_line_collection=True)
ax2.set_xticks([-1,0,1])
ax2.set_xticklabels([r'$-\omega$','0',r'$\omega$'])
ax2.set_xlabel('Angular frequency')
ax2.set_yticks([0])
ax2.set_ylabel('phase')
fig.subplots_adjust(hspace=10)

ax3 = axisartist.Subplot(fig, 2,2,2)
fig.add_axes(ax3)
ax3.axis["left"].set_axisline_style("->", size = 1.5)
ax3.axis["top"].set_visible(False)
ax3.axis["right"].set_visible(False)
ax3.stem([-1,1],[0.5,0.5],use_line_collection=True)
ax3.set_title('y = sin($\omega_0t$),$ c_{-1}=j/2,c_1=-j/2 $,fontsize = 15, pad = 20)
ax3.set_xticks([-1,0,1])
ax3.set_xticklabels([r'$-\omega$','0',r'$\omega$'])
ax3.set_xlabel('Angular frequency')
ax3.set_yticks([0.5])
ax3.set_ylabel('magnitude')

ax4 = axisartist.Subplot(fig, 2,2,4)
fig.add_axes(ax4)
ax4.axis["left"].set_axisline_style("->", size = 1.5)
ax4.axis["top"].set_visible(False)
ax4.axis["right"].set_visible(False)
ax4.stem([-1,1],[1.5708,-1.5708],use_line_collection=True)
ax4.set_xticks([-1,0,1])
ax4.set_xticklabels([r'$-\omega$','0',r'$\omega$'])
ax4.set_xlabel('Angular frequency')
ax4.set_yticks([np.pi/2,0,-np.pi/2])
ax4.set_yticklabels([r'$\pi/2$','0',r'$-\pi/$'])
ax4.set_ylabel('phase')
plt.tight_layout()
plt.show()

由該圖可看出，實信號的頻譜是共軛對稱的，及\(c_k&c_{-k}\)是互為共軛：模相等，相位相反。

而且出現負頻率

余正弦信號的三維頻譜圖

這個太難，以我的淺薄知識，用Python繪制不出來，故從陳老師處直接盜圖，但是可以從正弦信號三維頻譜看出即使復傅里葉系數是虛數，其原始信號仍有可能是實數

通過復傅立葉級數展開將實信號分解為了一系列的旋轉向量之和（由此引出了復數，使得實信號的表達式中出現了復數），但由於逆時針和順時針旋轉的向量成對出現，而且成對出現的旋轉向量的初始相位關於實軸對稱，旋轉的角速度相同，旋轉方向相反，所以這些旋轉向量合成的結果最終還是一個實信號（只在實軸上有分量，虛軸上的分量相互抵消掉了）。

李薩育圖形

使用互相成諧波頻率關系的兩個信號分別作為X和Y偏轉信號送入示波器時，這兩個信號分別在X軸、Y軸方向同時作用於電子束而描繪出穩定的圖形，這些穩定的圖形就叫“李薩育圖形”

Lissajous curve, 用來展示兩個相互垂直的簡諧振動的合成。

公式：

\[\left\{ \begin{aligned} x(\theta) & = a\cos(\theta) \\ y(\theta) & = b\sin(n\theta+\phi) \\ \end{aligned} \right. \]

def lissajous(q,fignum):
    theta = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
    x = np.cos(theta)
    y = np.sin(q*theta)

    plt.subplot(1,fignum,q)
    plt.axis('off')
    plt.plot(x,y)
    return

plt.figure(figsize=(10,2)) 

fignum=5
for i in range(fignum):
    lissajous(i+1,fignum)

實信號和復信號的波形對比

直接采用陳老師的三維頻譜圖：

在下面兩張圖中：x軸（實軸）、y軸（虛軸）所在的平面是復平面，t軸（時間軸）垂直於復平面。
上圖為實信號f(t)=cos(2πt)的波形圖。
下圖為復信號f(t)=cos(2πt)+jsin(2πt)的波形圖。
對比這兩張圖，很容易得出：實信號在復平面上投影時只有實軸方向有分量，而復信號在復平面上投影時實軸和虛軸方向都有分量。

最后說一句，由於博客部分圖片顯示不出，特貼上個人備份GitHub地址