【基本算法入門-字符串哈希（Hash）】-C++

字符串哈希入門

說得通俗一點，字符串哈希實質上就是把每個不同的字符串轉成不同的整數。

為什么會有這樣的需要呢？很明顯，存儲一個超長的字符串和存儲一個超大但是能存的下的整數，后者所占的空間會少的多，但主要還是為了方便判斷一個字符串是否出現過，這是最基礎的部分。

當然也很容易想到，如果有不同的字符串轉成同一個整數，那么區分功能就基本廢掉 ，所以我們需要一個算法把每個字符串轉成唯一的整數。所以字符串哈希算法就應運而生，哈希算法的難點也就在於如何構造一個合適的Hash函數來滿足我們的需求。

下面就簡單介紹幾種字符串哈希的基本方法。

基本哈希方法

一般地，給定一個字符串 \(S=s_1s_2s_3s_4...s_n\)，令\(idx(x)=x-'a'+1\)，當然，直接(int)x（用它的ASCll碼）也一樣。

自然溢出法

這種方法是利用數據結構unsigned long long的范圍自然溢出：即當存儲的數據大於unsigned long long的存儲范圍時，會自動mod \(2^{64}-1\)，就不用mod其他質數來保證唯一性了。

Hash公式

unsigned long long Hash[n]
hash[i]=hash[i−1]∗p+idx(s[i]);

注意：這里的p一定要是個質數，不然可能無法保證唯一性。

單Hash法

相當於自然溢出法沒有了自動取模的操作，所以需要自己進行取模操作。但是這種Hash方法在模數較小的時候的穩定性不一定得到保證，所以在這個方面不如其他方法。

Hash公式

hash[i]=(hash[i−1])∗p+idx(s[i])%mod;

注意：這里的\(p\)和\(mod\)都是質數，且滿足\(p<mod\)。最好在選取的時候把\(p\)和\(mod\)的值取大一點。

舉例

如取\(p=13,mod=101\)，對字符串\(abc\)進行Hash

hash[0]=1;
hash[1]=(hash[0] × 13 + 2)%101=15;
hash[2]=(hash[1] × 13 + 3)%101=97;

所以最終字符串\(abc\)的hash值就是97

雙Hash法

其實網上很多博客講了多Hash，但我覺得雙Hash已經足夠穩定了，再多一些也只是浪費時間而已。

顧名思義，雙Hash就是對一個hash值用兩個不同的質數進行兩次\(mod\)操作，然后最后用一對數\(<hash1[n],hash2[n]>\)來表示一個字符串的哈希值，這樣的一對數的重復幾率加上選擇較大的質數，沖突率幾乎為0。

Hash方法

hash1[i]=(hash1[i−1])∗p+idx(s[i]) % mod1
hash2[i]=(hash2[i−1])∗p+idx(s[i]) % mod2

這樣的哈希很安全

Hash素數的選擇

為了防止沖突，要選擇合適的素數，像1e9+7,1e9+9的一些素數，出題人一般會卡一下下，所以盡量選擇其他的素數，防止被卡。下面是一些可供選擇的素數。
上界和下界指的是離素數最近的\(2^n\)的值。

lwr	upr	% err	prime
2^5	2^6	10.416667	53
2^6	2^7	1.041667	97
2^7	2^8	0.520833	193
2^8	2^9	1.302083	389
2^9	2^10	0.130208	769
2^10	2^11	0.455729	1543
2^11	2^12	0.227865	3079
2^12	2^13	0.113932	6151
2^13	2^14	0.008138	12289
2^14	2^15	0.069173	24593
2^15	2^16	0.010173	49157
2^16	2^17	0.013224	98317
2^17	2^18	0.002543	196613
2^18	2^19	0.006358	393241
2^19	2^20	0.000127	786433
2^20	2^21	0.000318	1572869
2^21	2^22	0.000350	3145739
2^22	2^23	0.000207	6291469
2^23	2^24	0.000040	12582917
2^24	2^25	0.000075	25165843
2^25	2^26	0.000010	50331653
2^26	2^27	0.000023	100663319
2^27	2^28	0.000009	201326611
2^28	2^29	0.000001	402653189
2^29	2^30	0.000011	805306457
2^30	2^31	0.000000	1610612741

獲取子串的hash

如果我們求出一個串的Hash，就可以\(O(1)\)求解其子串的Hash值。
公式的推導太復雜...干脆直接貼上來 （絕對不是我想偷懶）

公式

若已知一個\(|S|=n\)的字符串的hash值，\(hash[i]\),\(1≤i≤n\)，其子串\(sl..sr,1≤l≤r≤n\)，對應的hash值為：

\[hash=((hash[r]−hash[l−1]∗p^{r−l+1})\%mod+mod)\%mod \]

ov.