1 引言
二叉樹是數據結構中的重點與難點，也是應用較為廣泛的一類數據結構。二叉樹的基礎知識在之前的數據結構與算法——二叉樹基礎中已經詳細介紹。本篇文章將着重介紹兩類二叉樹，二叉搜索樹和平衡二叉樹。
2 二叉搜索樹
2.1 定義
二叉搜索樹又稱二叉查找樹，亦稱為二叉排序樹。設x為二叉查找樹中的一個節點，x節點包含關鍵字key，節點x的key值記為key[x]。如果y是x的左子樹中的一個節點，則key[y] <= key[x]；如果y是x的右子樹的一個節點，則key[y] >= key[x]。
2.2 性質
（1）若左子樹不空，則左子樹上所有節點的值均小於它的根節點的值；
（2）若右子樹不空，則右子樹上所有節點的值均大於它的根節點的值；
（3）左、右子樹也分別為二叉搜索樹；
例如：圖2.2.1所示的二叉樹為一棵二叉搜索樹。
例如：圖2.2.2所示不是一棵二叉搜索樹，因為節點40的左孩子節點值為44，不滿足二叉搜索樹的定義。
2.3 節點結構
二叉樹的節點結構通常包含三部分，其中有：左孩子的指針，右孩子指針以及數據域。節點的圖示如下：
代碼定義：
struct BSTNode
{
int key; //節點數據
struct BSTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指針 */
};
2.4 創建二叉搜索樹
現有序列：A = {61, 87, 59, 47, 35, 73, 51, 98, 37, 93}。根據此序列構造二叉搜索樹過程如下：
（1）i = 0，A[0] = 61，節點61作為根節點；
（2）i = 1，A[1] = 87，87 > 61，且節點61右孩子為空，故81為61節點的右孩子；
（3）i = 2，A[2] = 59，59 < 61，且節點61左孩子為空，故59為61節點的左孩子；
（4）i = 3，A[3] = 47，47 < 59，且節點59左孩子為空，故47為59節點的左孩子；
（5）i = 4，A[4] = 35，35 < 47，且節點47左孩子為空，故35為47節點的左孩子；
（6）i = 5，A[5] = 73，73 < 87，且節點87左孩子為空，故73為87節點的左孩子；
（7）i = 6，A[6] = 51，47 < 51，且節點47右孩子為空，故51為47節點的右孩子；
（8）i = 7，A[7] = 98，98 < 87，且節點87右孩子為空，故98為87節點的右孩子；
（9）i = 8，A[8] = 93，93 < 98，且節點98左孩子為空，故93為98節點的左孩子；創建完畢后如圖2.4中的二叉搜索樹：
2.5 查找
查找流程：
（1）如果樹是空的，則查找結束，無匹配。
（2）如果被查找的值和節點的值相等，查找成功。
（3）如果被查找的值小於節點的值，遞歸查找左子樹，
（4）如果被查找的值大於節點的值，遞歸查找右子樹，
查找代碼：
bool searchBST(BSTNode* T, int key, BSTNode* f, BSTNode **p)
{
if (!T) /* 查找不成功 */
{
*p = f;
return false;
}
else if (key == T->key) /* 查找成功 */
{
*p = T;
return true;
}
else if (key < T->key)
return searchBST(T->lchild, key, T, p); /* 在左子樹中繼續查找 */
else
return searchBST(T->rchild, key, T, p); /* 在右子樹中繼續查找 */
}
使用二叉搜索樹可以提高查找效率，其平均時間復雜度為O(log2n)。
2.6 插入
插入流程：
（1）先檢測該元素是否在樹中已經存在。如果已經存在，則不進行插入；
（2）若元素不存在，則進行查找過程，並將元素插入在查找結束的位置。
圖解過程：
代碼實現：
void insertBST(BSTNode **T,int key) //此處使用二重指針是因為要修改指針的指針
{
BSTNode *s;
if(*T==NULL) //到達查找結束位置，再次位置插入元素
{
s = (BSTNode*)malloc(sizeof(BSTNode));
s->key = key;
s->lchild = NULL;
s->rchild = NULL;
*T=s;
}
else if(key<(*T)->key)//要插入的值大於當前節點，往左子樹搜
{
insertBST(&((*T)->lchild),key);
}
else if(key>(*T)->key)//大於當前節點，往右子樹搜
{
insertBST(&((*T)->rchild),key);
}
}
2.7 刪除
1) 刪除節點為葉子節點
刪除葉子節點的方式最為簡單，只需查找到該節點，直接刪除即可。例如刪除圖2.4中的葉子節點37、節點51、節點60、節點73和節點93的方式是相同的。
2) 刪除的節點只有左子樹
刪除的節點若只有左子樹，將節點的左子樹替代該節點位置。例如：刪除圖2.4中的98節點：
3）刪除的節點只有右子樹
刪除的節點若只有右子樹，將節點的右子樹替代該節點位置。這種情況與刪除左子樹處理方式類似，不再贅述。
4）刪除的節點既有左子樹又有右子樹。
若刪除的節點既有左子樹又有右子樹，這種節點刪除過程相對復雜。其流程如下：
（1）遍歷待刪除節點的左子樹，找到其左子樹中的最大節點，即刪除節點的前驅節點；
（2）將最大節點代替被刪除節點；
（3）刪除左子樹中的最大節點；
（4）左子樹中待刪除最大節點一定為葉子節點或者僅有左子樹。按照之前情形刪除即可。
注：同樣可以使用刪除節點的右子樹中最小節點，即后繼節點代替刪除節點，此流程與使用前驅節點類似。
刪除代碼：
/* 從二叉排序樹中刪除節點p，並重接它的左或右子樹。 */
bool deleteBSTNode(BSTNode* p)
{
BSTNode* q,s;
if((*p)->rchild==NULL) //右子樹空則只需重接它的左子樹（待刪節點是葉子也走此分支)
{
q=*p;
*p=(*p)->lchild;
free(q);
}
else if((*p)->lchild==NULL) //左子樹為空，只需重接它的右子樹
{
q=*p;
*p=(*p)->rchild;
free(q);
}
else //左右子樹均不空
{
q=*p;
s=(*p)->lchild;
while(s->rchild) // 轉到左子樹，然后向右到盡頭（找待刪節點的前驅） */
{
q=s;
s=s->rchild;
}
(*p)->key=s->key; //s指向被刪節點的直接前驅（將被刪節點前驅的值取代被刪節點的值）
if(q!=*p)
q->rchild=s->lchild; //重接q的右子樹
else
q->lchild=s->lchild; //重接q的左子樹
free(s);
}
return TRUE;
}
3 平衡二叉樹
3.1 定義
二叉搜索樹一定程度上可以提高搜索效率，但是當原序列有序，例如序列A = {1，2，3，4，5，6}，構造二叉搜索樹如圖3.1。依據此序列構造的二叉搜索樹為右斜樹，同時二叉樹退化成單鏈表，搜索效率降低為O(n)。
在此二叉搜索樹中查找元素6需要查找6次。二叉搜索樹的查找效率取決於樹的高度，因此保持樹的高度最小，即可保證樹的查找效率。同樣的序列A，改為圖3.2方式存儲，查找元素6時只需比較3次，查找效率提升一倍。
可以看出當節點數目一定，保持樹的左右兩端保持平衡，樹的查找效率最高。這種左右子樹的高度相差不超過1的樹為平衡二叉樹。
3.2 平衡因子
定義：某節點的左子樹與右子樹的高度(深度)差即為該節點的平衡因子（BF,Balance Factor），平衡二叉樹中不存在平衡因子大於1的節點。在一棵平衡二叉樹中，節點的平衡因子只能取-1、1或者0。
3.3 節點結構
定義平衡二叉樹的節點結構：
typedef struct AVLNode *Tree;
typedef int ElementType;
struct AVLNode
{
int depth; //深度，這里計算每個結點的深度，通過深度的比較可得出是否平衡
Tree parent; //該結點的父節點，方便操作
ElementType val; //結點值
Tree lchild;
Tree rchild;
AVLNode(int val=0) //默認構造函數
{
parent=NULL;
depth=0;
lchild=rchild=NULL;
this->val=val;
}
};
對於給定結點數為n的AVL樹，最大高度為O(log2n)。
3.4 左旋與右旋
1） 左旋
如圖3.4.1所示的平衡二叉樹
如在此平衡二叉樹插入節點62，樹結構變為：
可以得出40節點的左子樹高度為1，右子樹高度為3，此時平衡因子為-2，樹失去平衡。為保證樹的平衡，此時需要對節點40做出旋轉，因為右子樹高度高於左子樹，對節點進行左旋操作，流程如下：
（1）節點的右孩子替代此節點位置
（2）右孩子的左子樹變為該節點的右子樹
（3）節點本身變為右孩子的左子樹
圖解過程：
2）右旋
右旋操作與左旋類似，操作流程為：
（1）節點的左孩子代表此節點
（2）節點的左孩子的右子樹變為節點的左子樹
（3）將此節點作為左孩子節點的右子樹。
圖解過程：
3.5 插入
假設一顆 AVL 樹的某個節點為A，有四種操作會使 A 的左右子樹高度差大於 1，從而破壞了原有 AVL 樹的平衡性。平衡二叉樹插入節點的情況分為以下四種：
1） A的左孩子的左子樹插入節點(LL)
例如：圖3.5.1所示的平衡二叉樹：
節點A的左孩子為B，B的左子樹為D，無論在節點D的左子樹或者右子樹中插入F均會導致節點A失衡。因此需要對節點A進行旋轉操作。A的平衡因子為2，值為正，因此對A進行右旋操作。
圖解過程：
代碼實現：
//LL型調整函數
//返回:新父節點
Tree LL_rotate(Tree node)
{
//node為離操作結點最近的失衡的結點
Tree parent=NULL,son;
//獲取失衡結點的父節點
parent=node->parent;
//獲取失衡結點的左孩子
son=node->lchild;
}