題面
題解
$orz$ $AYSN$
考場上秒出費用流$64pts$的奆神
我想這道題的時候在廁所，一開始想到費用流了，但是后來又想了一個$28pts$的背包，感覺背包更靠譜，於是就寫背包了。。。
費用流貌似沒那么難，可我卻沒有想到。果然還是太弱了。
用流的大小限制取的個數。
最左邊 $S$，左側 $ABC$ 三個點，右側 $n$ 個點，左右邊$ T$。
從 $l$ 到 $k$ 枚舉成對的點的個數 $i$，$S$ 向 $A$ 和 $B$ 連流量 $l-i$，費用 $0$，向 $C$ 連流量 $i$，費用 $0$。
$A$ 向 $n$ 個點連流量 $1$，費用 $ai$，類似的，$B$ 連的費用是 $bi$，C是 $ai+bi$。
最后 $n$ 個點向 $T$ 連流量 $1$ 費用 $0$。
update 2020 - 5 - 12
一篇隨便的題解占據熱搜，我有點愧疚呢，那就重新寫一個 100 分做法吧！
說一下我在考場上的 28 分的暴力 dp 吧。
設 $f_{i,j,k,l}$ 為考慮到序列的第 $i$ 個位置，已經選了 $j$ 個 a 數組中的元素，$k$ 個 b 數組中的元素，其中有 $l$ 個位置上，a 數組的元素和 b 數組的元素同時被選上，這種情況下最大的選中的元素之和。
然后考慮這一次是
- 不選
- 只選 $a_i$
- 只選 $b_i$
- $a_i,b_i$ 都選
狀態 $O(n^4)$，轉移 $O(1)$，總復雜度 $O(n^4)$。
事實上，$O(n^3)$ 也不難。這道題說是一個序列，但如果把 $(a_i,b_i)$ 看做一個二元組，給定的 $\{a_i\},\{b_i\}$ 一個二元組的集合。
對於一個集合，我們可以把集合中元素按某個關鍵字排序，使得 “集合” 的無序性得以體現，這樣更接近本質。
我們按 $a_i$ 從大到小排序。考慮構成答案的元素的形式。顯然，我們可以發現，若 $i$ 位置沒有選 a，一定不存在以后的一個 $j>i$，使得 $j$ 只選了 a。如果這樣，把 $j$ 上的 a 換成 $i$ 上的 a，答案不會變的更劣，都選的地方也不會變的更少。這樣不僅決策少了，狀態也少了。
所以前面一部分只能做出決策：
- 只選 a
- a,b 都選
后面一部分只能做出決策：
- 只選 b
- a,b 都選
- 都不選
前一部分只需要記錄 $f_{i,j}$，選到了第 $i$ 個，有 $j$ 個是 $a,b$ 都選的。
后一部分只需要記錄 $g_{i,j,k}$，（從后往前）選到了第 $i$ 個，有 $j$ 個只選 b 的，$k$ 個 a,b 都選的，顯然有 $(n-i+1-j-k)$ 個都不選的。
這樣枚舉前一部分和后一部分的分界，就可以做到 $O(n^3)$ 了。
到了 $O(n^2)$ 了。必須需要點靈感才能得到進一步的分數了。
我們發現，按 $a_i$ 或是 $b_i$ 排序是及其愚蠢的，因為我們不僅要枚舉 a，還要枚舉 b，還要算交集，這樣似乎是怎樣都無法做到 $O(n^2)$ 的。
我們按 $a_i+b_i$ 排序。（自然，按 $a_i+b_i$ 排序上一步也是可以做的，但這一步只能按 $a_i+b_i$ 排序）
如果一個位置，既沒有選 a，又沒有選 b，那它以后肯定不會有都選的位置了。如果有，換過來，肯定不會變的更劣。
所以 $a_i+b_i$ 肯定集中出現在一個前綴中（這個前綴不能有空的），我們枚舉這個前綴，設為 $i$，此時，$l$ 個都選的位置集中出現在前 $i$ 個位置，可以知道前 $i$ 個位置只空了 $i-k$ 個位置，我們枚舉空了 x 個 a，y 個 b，把最小的 x 個 a 和 y 個 b 去掉，再在剩下的序列中把缺的都選最大的加上，就可以了。
一個問題是如果同時去掉了一個位置上的 a 和 b，那該咋辦？事實上，怎么辦都可以，因為這樣一定是劣的，不管它就行了。
為了保證復雜度 $O(n^2)$，我們用 4 個鏈表（分別對前面的 a，前面的 b，后面的 a，后面的 b 開）實現這些操作。添加復雜度 $O(n)$，查詢前 $x$ 大 $O(1)$。
然后是 $O(n\log^2n)$。這一步很顯然，因為刪的 a 是越來越大的，復活的 b 越來越小，新加的 a 越來越小，少的 b 越來越大，$\Delta f(x)$ 單調減，這個函數關於 x 有凸性，我們只需要對找到第一個 $\Delta f(x)<0$ 的位置，就是凸函數的最大值。
用平衡樹或是樹狀數組維護，平衡樹常數太大了，只能得 64 分。好像我寫的樹狀數組也才得 80 分。
最后一步也很顯然，我們對每一個 $i$ ，把它取到最大值的點輸出出來，發現從 $i$ 到 $i+1$，要么位置不變，要么位置向右平移一位，所以直接判斷一下就行了，復雜度 $O(n\log n)$！可以得到 100 分。
#include<bits/stdc++.h> #define N 200500 #define K (1<<19) #define ri register int #define LL long long using namespace std; int n,k,l,t[N],tru[1<<19]; LL ss[N],tt[N]; struct node { int a,b; bool operator < (const node &rhs) const { return tru[a]+tru[b]>tru[rhs.a]+tru[rhs.b]; } } v[N]; inline int read() { int ret=0,f=0; char ch=getchar(); while (ch<'0' || ch>'9') f|=(ch=='-'),ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') ret*=10,ret+=ch-'0',ch=getchar(); return f?-ret:ret; } struct treap { int f[K],a[N],cnt; LL sum[K]; inline void clear() { for (ri i=1;i<=cnt;i++) { for (ri j=a[i];j<K;j+=j&(-j)) f[j]=sum[j]=0; } cnt=0; } inline void insert(ri x) { a[++cnt]=x; for (ri i=x;i<K;i+=(i&(-i))) f[i]++,sum[i]+=tru[x]; } inline void erase(ri x) { for (ri i=x;i<K;i+=(i&(-i))) f[i]--,sum[i]-=tru[x]; } inline LL findxsum(ri k) { register LL ret=0; register int cur=0; for (ri i=18;i>=0;i--) if (f[cur+(1<<i)]<=k ) { k-=f[cur+(1<<i)]; cur+=(1<<i); ret+=sum[cur]; } if (cur+1<K) ret+=k*1LL*tru[cur+1]; return ret; } inline LL finddsum(ri k) { register LL r1=0; register int tot=0; for (ri i=K-1;i;i-=(i&(-i))) r1+=sum[i],tot+=f[i]; return r1-findxsum(tot-k); } } t1,t2,t3,t4; inline LL solve(ri x,ri tot,ri i) { if (t[x]==i) return tt[x]; ri y=tot-x; t[x]=i; tt[x]=ss[i]-t1.findxsum(x)-t2.findxsum(y)+t3.finddsum(k-i+x)+t4.finddsum(k-i+y); return tt[x]; } inline LL dp() { sort(v+1,v+n+1); for (ri i=1;i<=n;i++) ss[i]=ss[i-1]+tru[v[i].a]+tru[v[i].b]; for (ri i=0;i<=n;i++) t[i]=-1; t1.clear(); t2.clear(); t3.clear(); t4.clear(); for (ri i=1;i<l;i++) t1.insert(v[i].a); for (ri i=l;i<=n;i++) t3.insert(v[i].a); for (ri i=1;i<l;i++) t2.insert(v[i].b); for (ri i=l;i<=n;i++) t4.insert(v[i].b); LL ans=0; for (ri i=l,pre=0;i<=n && i<=l+(k-l)+(k-l);i++) { t1.insert(v[i].a); t2.insert(v[i].b); t3.erase(v[i].a); t4.erase(v[i].b); int tot=i-l,lb=max(max(0,l+tot-k),l-i+tot),ret=lb,rb=min(min(tot-1,k-l-1),i-l-1); if (lb>rb+1) continue; if (pre<lb) pre=lb; if (pre+1<=rb+1 && solve(pre+1,tot,i)>=solve(pre,tot,i)) ret=pre+1; else ret=pre; LL cur=solve(ret,tot,i); pre=ret; if (cur>ans && lb<=rb+1) ans=cur; } return ans; } int main() { int T=read(); while (T--) { n=read(); k=read(); l=read(); int co=0; for (ri i=1;i<=n;i++) v[i].a=read(),tru[++co]=v[i].a; for (ri i=1;i<=n;i++) v[i].b=read(),tru[++co]=v[i].b; sort(tru,tru+co+1); int tn=unique(tru,tru+co+1)-tru-1; for (ri i=1;i<=n;i++) v[i].a=lower_bound(tru+1,tru+tn+1,v[i].a)-tru; for (ri i=1;i<=n;i++) v[i].b=lower_bound(tru+1,tru+tn+1,v[i].b)-tru; printf("%lld\n",dp()); } }