前言
本來想用verilog描述FFT算法，雖然是8點的FFT算法，但寫出來的資源用量及時延也不比調用FFT IP的好，
還是老實調IP吧，了解內部機理即可，無需重復發明輪子。
參考
https://wenku.baidu.com/view/6f5862997c1cfad6185fa725.html
https://blog.csdn.net/shengzhadon/article/details/46737517
流程
FFT能做什么在此就不贅述了，只了解數據的運算流程。
1.FFT的基本公式：
第一眼看這個公式，肯定是腦袋瞬間宕機。
2.旋轉因子：記住旋轉因子具有可約性，對稱性，周期性。
表示方法有兩種，通過歐拉公式轉換，本質上是一致的。
Wn=exp(-j*2*k*pi/N) ，N表示FFT點數，k表示第幾個旋轉因子。
Wn = cos(2*pi*k/N) - i*sin(2*pi*k/N)
第二次腦袋瞬間宕機。
3.蝶形圖：
好在數學家為了普通人類能理解公式，繪制了帥氣的蝴蝶漫畫圖，8點FFT的如下：
不直觀，添加幾條輔助線再看：可以看到分為三級蝶形運算。
比如第一級的蝶形運算結果：x0’=x[0]+x[4]*w0,x1’=x[0]-x[4]*w0。其他節點以此類推。
注意-1的位置和旋轉因子的位置。注意數據和旋轉因子都是復數，這就是說蝶形圖中的乘法和加減都是復數運算。
而所謂代碼實現，不管什么代碼，本質上就是對各級的公式進行實現，從而得到結果。
覺得講得不清楚，那么看下圖更直觀：當然圖中少標識了-1。
4.數據輸入倒序：
從上圖左側可以看到，序列按照了一定的規則進行了倒序，如果按照順序進行數據輸入，肯定是不正確的。十進制可能看不出來，但使其轉換為二進制表示就可以知道：
5.Matlab驗證算法：
到這一步，就可以把蝶形結構用matlab語言描述出來了。蝶形因子進行了2^16次放大，數據經過了兩級放大，結果需除去放大因子。
x序列為fs=500hz采樣下的125hz且有直流分量的8點采樣信號。
clc; clear all; close all; %放大了2^16次的系數 w0 = 65536; w1 = 46341 - 46341*i; w2 = -65536*i; w3 = -65536 - 65536*i; % w0 = 1; % w1 = 0.7071 - 0.7071*1i; % w2 = -1i; % w3 = -0.7071 - 0.7071*1i; x = [4916,11469,4916,-1638,4916,11469,4916,-1638]; %%第一級蝶形運算,沒有放大 x1(1)=x(1)+x(5); x1(2)=x(1)-x(5); x1(3)=x(3)+x(7); x1(4)=x(3)-x(7); x1(5)=x(2)+x(6); x1(6)=x(2)-x(6); x1(7)=x(4)+x(8); x1(8)=x(4)-x(8); %%第二級蝶形運算放大了65536，因為系數放大了2^16，其他部分應當相應的放大 x2(1)=x1(1)*65536+x1(3)*65536; x2(2)=x1(2)*65536+x1(4)*(w2); x2(3)=x1(1)*65536-x1(3)*65536; x2(4)=x1(2)*65536-x1(4)*(w2); x2(5)=x1(5)*65536+x1(7)*65536; x2(6)=x1(6)*65536+x1(8)*(w2); x2(7)=x1(5)*65536-x1(7)*65536; x2(8)=x1(6)*65536-x1(8)*(w2); %%第三級蝶形運算放大了65536，因為系數放大了2^16，其他部分相應的進行放大 y(1)=x2(1)*65536+x2(5)*65536; y(2)=x2(2)*65536+x2(6)*(w1); y(3)=x2(3)*65536+x2(7)*(w2); y(4)=x2(4)*65536+x2(8)*(w3); y(5)=x2(1)*65536-x2(5)*65536; y(6)=x2(2)*65536-x2(6)*(w1); y(7)=x2(3)*65536-x2(7)*(w2); y(8)=x2(4)*65536-x2(8)*(w3); % plot(abs(y/(65536^3))-abs(fft(x))) figure; plot(x); title('x value'); figure; plot(abs(y/(65536^2))); title('旋轉因子放大取整計算結果'); figure; plot(abs(fft(x))); title('matlab自帶fft函數計算結果');
6.查看一下勞動成果：可以看到matlab自帶的FFT和手動蝶形算出的FFT結果是一致的。
7.轉成verilog描述，無非就是對各級的蝶形公式進行相關的實現。
注意：（1）乘法和加減法為復數運算。
（2）各級位寬需要注意，避免溢出。
看到蝶形圖及相關公式，可以看到還是有點算法復雜度的。
雖然可以手敲實現，但FPGA廠商已經提供了足夠好用的FFT IP core，資源量和計算延遲都很nice，
所以還是老實用IP吧。哈哈
8.FFT的一些性質：
（1）采樣速率和點數的關系：
頻譜分辨率△f=fs/N。點數和采樣速率共同決定了FFT的頻譜分辨率。
某一個點的頻率關系：f=k*fs/N。注意FFT計算結果的第一點為直流分量。
（2）柵欄效應及補零處理：
頻譜分辨率決定了透過柵欄窗子看真實頻譜的真實度。補零可使得離散譜外觀更加平滑，同時增長序列長度。
（3）FFT變換后的頻域模幅度對應關系：
FFT計算出的第0個點為直流分量，其模值為直流分量的N倍。其余位置求得的模值需要除以N/2，才為真實的模值。
第0點：模值/N
其他頻率點:模值/(N/2)
（4）頻域幅度及相位計算：
某點（im,re）的幅度信息為：sqrt（im^2+re^2），即實部平方加虛部平方開根號。
相位為：atan（im/re），反三角算即可，即為本頻譜時域的初相。
以上。