【UOJ#310】【UNR#2】黎明前的巧克力（FWT）
題面
題解
把問題轉化一下，變成有多少個異或和為\(0\)的集合，然后這個集合任意拆分就是答案，所以對於一個大小為\(s\)的集合，其貢獻是\(2^s\)。
於是我們可以弄出若干個\((1+2x^{a_i})\)這樣子的多項式，然后異或卷積把它們卷起來就是答案。
根據\(FWT\)異或卷積的理論，如果\(i\)位置有一個\(1\)，那么\(FWT\)之后對於\(j\)位置的貢獻是\(-1^{pop\_count(i\&j)}\)。
於是\(1\)對於所有位置的貢獻都是\(1\)，\(2\)對於所有位置的貢獻是\(\pm 2\)，所以對於每一個多項式，其\(FWT\)后的結果不是\(-1\)就是\(3\)。
但是對於每一個多項式分別\(FWT\)實在是太過浪費，考慮優化這個過程。
因為我們最終要求的只是每個位置上對應的所有值的乘積，每個位置上不是\(-1\)就是\(3\)，那么我們假設有\(x\)個\(-1\)，\(n-x\)個\(3\)。
然后我們只需要把\(x\)給解出來就行了。
於是對應這兩個值我們要找到一個等式，我們把所有的多項式加起來然后\(FWT\)，這樣子第\(i\)位上的值\(f_i\)就是\(n\)個多項式\(FWT\)之后的和。
於是我們有：\((-1)*x+3*(n-x)=f_i\)，很容易就可以把\(x\)解出來。
然后\((-1)^x*3^{n-x}\)就是每個位置\(FWT\)乘起來之后的值。
把這個數組求出來之后再\(IFWT\)一遍就可以得到答案了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define inv2 499122177
#define inv4 748683265
#define MAX 1048576
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int n,a[MAX],pw[MAX];
void FWT(int *P,int opt,int len)
{
for(int i=1;i<len;i<<=1)
for(int j=0,p=i<<1;j<len;j+=p)
for(int k=0;k<i;++k)
{
int X=P[j+k],Y=P[i+j+k];
P[j+k]=(X+Y)%MOD,P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
if(opt==-1)P[j+k]=1ll*P[j+k]*inv2%MOD,P[i+j+k]=1ll*P[i+j+k]*inv2%MOD;
}
}
int main()
{
n=read();
pw[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)pw[i]=3ll*pw[i-1]%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)a[0]+=1,a[read()]+=2;
pw[0]=1;
FWT(a,1,1048576);
for(int i=0;i<1048576;++i)
{
int p=1ll*(n+n+n+MOD-a[i])*inv4%MOD;
a[i]=(p&1)?(MOD-pw[n-p])%MOD:pw[n-p];
}
FWT(a,-1,1048576);
int ans=(a[0]+MOD-1)%MOD;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}