一、任務基礎
我們將建立一個邏輯回歸模型來預測一個學生是否被大學錄取。假設你是一個大學系的管理員，你想根據兩次考試的結果來決定每個申請人的錄取機會。你有以前的申請人的歷史數據，你可以用它作為邏輯回歸的訓練集。對於每一個培訓例子，你有兩個考試的申請人的分數和錄取決定。為了做到這一點，我們將建立一個分類模型，根據考試成績估計入學概率。
數據集鏈接為：鏈接：https://pan.baidu.com/s/1H3T3RfyT3toKbFrqO2z8ug，提取碼：jku5
首先導入需要使用到的Python庫：
# 數據分析三個必備的python庫 import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline
讀取數據然后查看數據：
import os path = "data" + os.sep + "LogiReg_data.txt" # header=None 表示沒有列標簽 第三列表示考生是否被錄取 Exam 1 Exam 2 表示兩個特征 pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted']) pdData.head()
查看數據維度：
pdData.shape
(100, 3)
根據是否錄取為標准，查看數據集的分布
# pdData 是二維數組
positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
# 繪制散點圖 ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted') ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted') ax.legend() # 添加圖例 ax.set_xlabel('Exam 1 Score') ax.set_ylabel('Exam 2 Score')
二、定義函數模塊
接下來按照模塊化編程：
θ0表示第一個考試成績權重，θ1表示第二個考試成績權重，θ2表示偏置項
首先，定義Sigmoid函數
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.exp(-z))
查看Sigmoid函數圖像：
# sigmoid函數圖像 nums = np.arange(-10, 10, step=1) fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)) ax.plot(nums, sigmoid(nums), 'r')
根據上圖我們可以看到，這個函數的值域是0到1。當x趨近於負無窮時，y趨近於0，當x趨近於正無窮時，y趨近於1。並且當x等0時，y等於0.5。
返回預測結果值：
def model(X, theta):
return sigmoid(np.dot(X, theta.T)) # 矩陣乘法
在第一列的前面在加上數據全為1的一列，為了方便上面的矩陣進行運算。
# pdData.drop('Ones', 1, inplace=True) # 刪除添加的Ones列
pdData.insert(0, 'Ones', 1)
orig_data = pdData.as_matrix()
# print(orig_data.shape)
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:, 0:cols - 1]
y = orig_data[:, cols - 1:cols]
# 三個θ參數，用零占位
theta = np.zeros([1, 3])
查看X五個樣本數據
X[:5]
查看y五個樣本數據
y[:5]
查看theta參數
theta
查看X，y，theta的維度
X.shape, y.shape, theta.shape
((100, 3), (100, 1), (1, 3))
根據以上，我們可以檢查到前面都是沒有問題的。使用Notebook開發就是這個好處，可以邊做邊檢查。
根據參數計算損失：
def cost(X, y, theta):
left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
# print(left.shape)
# print("===========================")
# print(right.shape)
return np.sum(left - right) / len(X)
計算cost值，檢查cost函數是否正確
cost(X, y, theta)
0.6931471805599453
計算每個參數的梯度方向：
def gradient(X, y, theta):
grad = np.zeros(theta.shape) # 一共三個參數 所以計算三個參數的梯度
error = (model(X, theta) - y).ravel() # ravel展平數組
for j in range(len(theta.ravel())):
term = np.multiply(error, X[:, j])
grad[0, j] = np.sum(term) / len(X) # grad[0, 0] grad[0, 1] grad[0, 2]
return grad
比較3種不同梯度下降方法：
（1）批量梯度下降
（2）隨機梯度下降
（3）小批量梯度下降
STOP_ITER = 0 # 按照迭代次數停止
STOP_COST = 1 # 按照損失值停止，兩次迭代損失值很小則停止
STOP_GRAD = 2 # 根據梯度停止，梯度變化很小則停止
# threshold 閾值
def stopCriterion(type, value, threshold):
# 設定三種不同的停止策略
if type == STOP_ITER:
return value > threshold
elif type == STOP_COST:
return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
elif type == STOP_GRAD:
return np.linalg.norm(value) < threshold
打亂數據，防止有規律數據
import numpy.random
# 打亂數據
def shuffleData(data):
np.random.shuffle(data)
cols = data.shape[1]
X = data[:, 0:cols - 1]
y = data[:, cols - 1:]
return X, y
進行參數更新
import time
# 梯度下降求解 batchSize取1代表隨機梯度下降，取總樣本數代表梯度下降，取1~總樣本數之間代表miniBatch梯度下降
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
init_time = time.time() # 初始時間 thresh：閾值，alpha：學習率
i = 0 # 迭代次數
k = 0 # batch
X, y = shuffleData(data)
grad = np.zeros(theta.shape) # 計算的梯度
costs = [cost(X, y, theta)] #損失值
while True:
grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)
k += batchSize # 取batch數量個數據 n可能代表0
if k >= n:
k = 0
X, y = shuffleData(data) # 重新打亂數據
theta = theta - alpha * grad # 參數更新
costs.append(cost(X, y, theta)) # 計算新的損失
i += 1
if stopType == STOP_ITER:
value = i
elif stopType == STOP_COST:
value = costs
elif stopType == STOP_GRAD:
value = grad
if stopCriterion(stopType, value, thresh):
break
return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time
進行結果的圖像展示的展示
def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType,
thresh, alpha)
name = "Original" if (data[:, 1 > 2]).sum() > 1 else "Scaled"
name += " data - learning rate:{} - ".format(alpha)
if batchSize == n:
strDescType = "Gradient"
elif batchSize == 1:
strDescType = "Stochastic"
else:
strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
name += strDescType + " descent - Stop: "
if stopType == STOP_ITER:
strStop = "{} iterations".format(thresh)
elif stopType == STOP_COST:
strStop = "costs change < {}".format(thresh)
else:
strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
name += strStop
print(
"***{}\nTheta:{} - Iter:{} - Last cost: {:03.2f} - Duration:{:03.2f}s".
format(name, theta, iter, costs[-1], dur))
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
return theta
三、實驗結果對比
下面對比三種停止策略對結果的影響
根據迭代次數停止，設定閾值5000次，也就是說迭代次數超過5000即停止迭代
n = 100 # 選擇所有樣本進行梯度下降 runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)
上面迭代了5000次，看起來似乎目標函數已經成功收斂。上面消耗一秒多的時間，看起來似乎不太行，損失值0.63。下面根據損失值停止，設定閾值1E-6，也就是兩次損失值之差不能超過1E-6，差不多需要500000次迭代
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.0000001, alpha=0.001)
根據圖片標題我們可以看到差不多迭代50萬次才達到我們定義的閾值，而此時收斂的效果更好。損失值只有0.25，消耗的時間達到100多秒。下面根據梯度變化停止，設定閾值0.05，表示梯度相差0.05即停止迭代。
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)
下面這三種對比不同的梯度下降方法
下面1表示每次1次迭代只拿一個樣本，batchSize取1代表隨機梯度下降，取總樣本數代表梯度下降，取1~總樣本數之間代表miniBatch梯度下降
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)
有點爆炸。。。很不穩定，下面把迭代次數調高點，學習率調低點
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)
可以看出這次結果，速度快，但穩定性差，需要很小的學習率
下面進行Mini-batch descent，一次迭代拿16個樣本。
runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)
浮動仍然比較大，我們來嘗試下對數據進行標准化：將數據按其屬性(按列進行)減去其均值，然后除以其方差。最后得到的結果是，對每個屬性/每列來說所有數據都聚集在0附近，方差值為1
from sklearn import preprocessing as pp scaled_data = orig_data.copy() scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3]) runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)
它好多了！原始數據，只能5000次迭代損失值達到0.61，而我們得到了0.38在這里！ 所以對數據做預處理是非常重要的
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)
更多的迭代次數會使得損失下降的更多！
theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)
隨機梯度下降更快，但是我們需要迭代的次數也需要更多，所以還是用batch的比較合適！！！
runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)
這次時間只花了0.16秒，損失值只有0.22，迭代次數也只有一千多次，得到的結果不錯。所以說當我們進行數據梯度下降的時候，首先對數據進行預處理，然后再進行各種的嘗試，在這里的話Mini-batch是比較好的，無論是從時間還是結果來看。
預測函數
def predict(X, theta):
return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]
計算准確率
scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [
1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0
for (a, b) in zip(predictions, y)
]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print('accuracy = {0}'.format(accuracy))
最終得到准確率89%。
accuracy = 89%
總結：首先拿到數據集看下數據長什么樣子，然后再給數據增加了一列全是1的數據，然后再對每個模塊函數的編寫，最后對比各種策略下的實驗結果，最終得出最佳結果。