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1 引言
邏輯不邏輯，回歸非回歸。
回想當年初次學習邏輯回歸算法時，看到”邏輯回歸“這個名字，第一感覺是這是一個與線性回歸類似的回歸類別的算法，只不過這個算法突出”邏輯“，或者與某個以”邏輯“命名的知識點有關。可后來卻發現，這是一個坑死人不償命的名字——邏輯回歸算法不是回歸算法，是分類算法，也與邏輯無關，要說有關也僅是因為它的英文名字是Loginstics，音譯為邏輯而已（所以也有資料稱之為邏輯斯蒂回歸)。
2 邏輯回歸原理
2.1 從線性回歸到邏輯回歸
在上一篇博文中，我們詳細說過回歸算法與分類算法的區別。邏輯回歸既然是分類算法，為什么不叫邏輯分類而是邏輯回歸呢？在我看來，這是因為邏輯回歸用回歸的思路去解決分類的問題。
假設有如下圖所示的一個數據集，使用線性回歸算法，我們可以找到大致如黑線的一個線性模型對其進行擬合。對於回歸算法，需要做的是對數據集中每一個${{x}_{i}}$，都能通過模型找到一個${{y}_{i}}$（預測值）與之對應。
獲得了預測值${{y}_{i}}$，我們就可以做很多事情了，例如：分類。我們可以對${{y}_{i}}$進行分段，例如，在${{y}}$軸上取一值$M$，當${{y}_{i}}<M$時，我們將其標記到類0中，當${{y}_{i}}>M$時，我們將其標記到另一類1中，如下圖所示：
這就實現了以回歸的思路來實現分類。
但邏輯回歸可不止在線性回歸的基礎上做這些事情。在上一篇介紹線性回歸的博文的末尾，我們提到，線性回歸有一個很致命的缺陷——對異常值很敏感，如果數據集中出現異常值，擬合出來的線性模型也將出現很大變化，預測出來的結果也將不在那么准確，從而到導致分類錯誤。如下圖所示，數據集中出現一個異常點（綠點），那么擬合出來的模型就可能從原來的黑線變為綠線，此時，當數據集中有某一點$x\in ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$時，該點就回被誤判，例如圖中橙色點，在原本黑線模型中，該點預測出來的${{y}}$值大於$M$，被標記到1類中，但在綠線模型中，其${{y}}$值就小於$M$，就回被誤標記到0類中。
邏輯回歸算法對線性回歸對異常數據敏感的不足進行了優化改進。怎么改進呢？最直觀的方法就是將直線“掰彎”。“掰彎”之后，就算出現異常數據，模型主體部分也不會出現太多改變，從而解決線性回歸模型對異常值敏感的問題，如下圖所示：
而我們所用的“掰彎”方法就是用sigmod函數與線性函數進行擬合。
2.2 sigmod函數
sigmoid函數也叫Logistic函數，函數表達式如下：
其中，$e$為自然對數，是一個常數，值約為$2.71828$。
函數圖像如下：
從函數圖像可以看出， sigmoid函數可以很好地將$(-\infty ,+\infty )$內的數映射到$(0,1)$ 上，於是當$g(z)\ge 0.5$時我們可以將該條數據標記為1類， $g(z)<0.5$時標記為0類。即：
\[y=\left\{ _{0,\text{ }g(x)<0.5}^{1,\text{ }g(x)\ge 0.5} \right.\]
其中$y$表示分類結果。
通常，在邏輯回歸算法應用中，模型可不會如同上面的sigmoid函數那么簡單，而是sigmoid函數與線性函數的組合：
\[g(x)=\frac{1}{1+{{e}^{-z}}}\]
其中，$z$就是線性回歸中的預測值，即：
所以有：
\[h(x)=\frac{1}{1+{{e}^{-({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}{{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}{{x}_{2}}+\cdots +{{\theta }_{n}}{{x}_{n}})}}}\]
用矩陣方式表示：
\[h(x)=g(z)=g({{\theta }^{T}}x)=\frac{1}{1+{{e}^{-{{\theta }^{T}}x}}}\]
其中，$\theta =\left[ \begin{matrix}
{{\theta }_{0}} \\
{{\theta }_{1}} \\
\vdots \\
{{\theta }_{n}} \\
\end{matrix} \right]$，$x=\left[ \begin{matrix}
{{x}_{0}} \\
{{x}_{1}} \\
\vdots \\
{{x}_{n}} \\
\end{matrix} \right]$
3 損失函數
下一步我們要做的就是如何求取最佳擬合模型的問題了。在線性回歸算法中，我們使用誤差平方和來作為損失函數，但是在邏輯回歸中，這個方法不再使用，因為已被證明，在邏輯回歸模型中使用誤差平方和作為損失函數的話，會存在許多局部最小值點，在求解參數的過程中很容易陷入局部最小值點，而無法求得真正的最小值點。
上面說過，$h(x)\in (0,1)$，這一點的性質剛好與概率$p\in [0,1]$的性質吻合（當做概率使用的理由不止這點），故而我們可以將其當做$h(x)$值當做數據被標記為1類的概率，即：
\[p(y=1|x;\theta )=h(x)\]
\[p(y=0|x;\theta )=1-h(x)\]
當給定$y$為1時，即屬於1類時，$h(x)$越趨近於1，被預測為1類的概率就越大，損失（誤差）就越小；反之，當給定$y$為0時，即屬於0類時，$h(x)$越趨近於1，被預測為0類的概率就越小，損失（誤差）就越大，於是，我們可以定義損失函數：
\[\cos t(h(x),y)=\left\{ _{-\log (1-h(x)),\text{ }y=0}^{-\log (h(x)),\text{ }y=1} \right.\]
對所有數據集中$x$損失累加然后求平均，有：
\[J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\cos (h(x),y)}\]
由於$y$的取值為0或1，結合上面兩個公式可以得到：
\[J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{y}_{i}}\log (h({{x}_{i}}))+(1-{{y}_{i}})\log (1-h({{x}_{i}})))}\]
這個函數就是我們邏輯回歸的損失函數,我們把它稱為交叉熵損失函數。
接下來就是針對的優化問題，也就是求得最小值，在這位大佬的博客里推導過程寫得很詳細，我自愧不如，就不獻丑了。
4 代碼實現
import torch from torch import nn from torch.autograd import Variable import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # 假數據 n_data = torch.ones(100, 2) # 數據的基本形態 x0 = torch.normal(2*n_data, 1) # 類型0 x data (tensor), shape=(100, 2) y0 = torch.zeros(100) # 類型0 y data (tensor), shape=(100, 1) x1 = torch.normal(-2*n_data, 1) # 類型1 x data (tensor), shape=(100, 1) y1 = torch.ones(100) # 類型1 y data (tensor), shape=(100, 1) # 注意 x, y 數據的數據形式是一定要像下面一樣 (torch.cat 是在合並數據) x = torch.cat((x0, x1), 0).type(torch.FloatTensor) # FloatTensor = 32-bit floating y = torch.cat((y0, y1), 0).type(torch.FloatTensor) # LongTensor = 64-bit integer # 畫圖 # plt.scatter(x.data.numpy()[:, 0], x.data.numpy()[:, 1], c=y.data.numpy(), s=100, lw=0, cmap='RdYlGn') # plt.show() class LogisticRegression(nn.Module): def __init__(self): super(LogisticRegression, self).__init__() self.lr = nn.Linear(2, 1) self.sm = nn.Sigmoid() def forward(self, x): x = self.lr(x) x = self.sm(x) return x logistic_model = LogisticRegression() if torch.cuda.is_available(): logistic_model.cuda() # 定義損失函數和優化器 criterion = nn.BCELoss() optimizer = torch.optim.SGD(logistic_model.parameters(), lr=1e-3, momentum=0.9) # 開始訓練 for epoch in range(10000): if torch.cuda.is_available(): x_data = Variable(x).cuda() y_data = Variable(y).cuda() else: x_data = Variable(x) y_data = Variable(y) out = logistic_model(x_data) loss = criterion(out, y_data) print_loss = loss.data.item() mask = out.ge(0.5).float() # 以0.5為閾值進行分類 correct = (mask == y_data).sum() # 計算正確預測的樣本個數 acc = correct.item() / x_data.size(0) # 計算精度 optimizer.zero_grad() loss.backward() optimizer.step() # 每隔20輪打印一下當前的誤差和精度 if (epoch + 1) % 20 == 0: print('*'*10) print('epoch {}'.format(epoch+1)) # 訓練輪數 print('loss is {:.4f}'.format(print_loss)) # 誤差 print('acc is {:.4f}'.format(acc)) # 精度 # 結果可視化 w0, w1 = logistic_model.lr.weight[0] w0 = float(w0.item()) w1 = float(w1.item()) b = float(logistic_model.lr.bias.item()) plot_x = np.arange(-7, 7, 0.1) plot_y = (-w0 * plot_x - b) / w1 plt.scatter(x.data.numpy()[:, 0], x.data.numpy()[:, 1], c=y.data.numpy(), s=100, lw=0, cmap='RdYlGn') plt.plot(plot_x, plot_y) plt.show()
4 總結
總結一下邏輯回歸的優缺點：
優點：
1）預測結果是介於0和1之間的概率；
2）可以適用於連續性和離散型變量；
3）容易使用，解釋性強。
缺點：
1）對模型中自變量多重共線性較為敏感，例如兩個高度相關自變量同時放入模型，可能導致較弱的一個自變量回歸符號不符合預期，符號被扭轉。需要利用因子分析或者變量聚類分析等手段來選擇代表性的自變量，以減少候選變量之間的相關性；
2）預測結果呈“S”型，因此從log(odds)向概率轉化的過程是非線性的，在兩端隨着log(odds)值的變化，概率變化很小，邊際值太小，slope太小，而中間概率的變化很大，很敏感。 導致很多區間的變量變化對目標概率的影響沒有區分度，無法確定閥值。
參考：
https://blog.csdn.net/out_of_memory_error/article/details/81275651
https://www.cnblogs.com/yiduobaozhiblog1/p/8872903.html
https://blog.csdn.net/ligang_csdn/article/details/53838743
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1620514366177013756&wfr=spider&for=pc