漢諾塔游戲的遞歸解析

遞歸

遞歸就是程序自己調用自己的過程。
本身理解遞歸的思想比較容易，舉一個求階乘的例子：

def fact(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * fact(n - 1)

測試：

>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120

實際上遞歸程序不可能一直遞歸循環下去，需要利用其它條件來結束遞歸循環。這里求階乘的例子，就是當n==1時就結束遞歸循環。
這里以fact(5)為例，看程序是如何進行遞歸運行的

===> fact(5) 
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120

可以看出程序從fact(5)遞歸到fact(1)結束。從上到下遞歸至結束，然后從下至上依次計算。

漢諾塔游戲

上面這個遞歸求階乘很好理解。但是將遞歸的思想放到漢諾塔中，就不是那么容易明白了。（關於漢諾塔的文章，其實網上很多了，這里不會很詳細解說。）簡單說下漢諾塔游戲的規則和玩法：

1. 有三個柱子: a, b, c;
2. a 上有數量為N個的圓盤；
3. 從a柱將數量為N個的圓盤拿到 c 柱上；
4. 一次只能拿一個圓盤，a,b,c 柱都可以利用；
5. 無論在哪根柱子上，都是較大的圓盤永遠在較小圓盤下面。

為了方便后面的理解，這里先說明幾個字母含義：

N：一個標量，在下文中表示，第N個圓盤，N-1，第N-1個圓盤
n: 代表前n個圓盤， n-1 待變前n-1個圓盤；
a,b,c：分別表示三根柱子；
—>: 箭頭表示從...移動到...

玩漢諾塔游戲可以分為三步：

1. 將n-1個圓盤從 a 移到 b上；
2. 將N圓盤從a 移到 c 上；
3. 將n-1 個圓盤，從b 移到c 上。

玩漢諾塔就是不斷重復那三步，直到n-1=1。

要將 n 個圓盤從 a 移到 c ，
則先將n-1個從a移到b，然后將N從a移動c，再將n-1從b移到c;
要將n-1個從a移到b，
則先將n-2個從a移到c，然后將N-1從a移動b，再將n-2從c移到b;
要將n-2個從a移到c，
則先將n-3個從a移到b，然后將N-2從a移動c，再將n-3從b移到c;
要將n-3個從a移到b，
則先將n-4個從a移到c，然后將N-3從a移動b，再將n-4從c移到b;
......
在遞歸到最后一層，n- (n-1)=1, 也就是 a 柱第一個圓盤移向 b 還是 c 取決於N是奇數還是偶數。（代幾個數測試下就知道了）
注：要將n-k個從一個柱子移到另一個柱子，需要借助第三個空閑柱子

紅色部分遞歸路徑，假設其為遞歸1號路線，在其下面還有其它遞歸分支（綠色表示）。等紅色的從上往下遞歸到底后，程序從底下，往上開始計算，遇到綠色則開始遞歸，等綠色遞歸完后繼續計算上一層的。
程序一開始的遞歸沿着紅色一直遞歸到最后一層（實際圓盤中最上面的那個）不再進行遞歸，直接開始搬運圓盤。然后運行最后一層的剩余步驟（黑色，紅色），最后一層運行完，
等計算完，紅色部分遞歸1號路線，
程序運行N(a)->c，
然后開始藍色部分的遞歸路徑（稱其遞歸2號路線），遞歸2號路線同1號路線一樣也有許多遞歸支路。

為幫助理解，下面是一個路線圖，挺丑的，湊合看。。

如果單純值拿紅色遞歸1號路線（不包括其遞歸支線），其實其和上面的遞歸階乘的例子是一樣的。但是漢諾塔這個有了許多遞歸支線，就感覺復雜了許多。同時也可能因為從a->b, a->c, b->c, a->c,a-b...這三個字母混去混來的，腦袋記不住它們關系了，容易犯渾。但是你像圖片那樣將遞歸推導列出來就容易明白了。

代碼

# Python
def move(n, a, b, c):
    if n == 1:
        print(f"{a} --> {c}")
    else:
        move(n-1, a, c, b)
        print(f"{a} --> {c}")
        move(n-1, b, a, c)
move(4,'a', 'b', 'c')

#include <stdio.h>  
// C
void move(int, char, char, char);

void move(int n, char x, char y, char z)
{
        if (n == 1)
        {
                printf("%c --> %c\n", x, z);
        }
        else
        {
                move(n-1, x, z, y);
                printf("%c --> %c\n", x, z);
                move(n-1, y, x, z);
        }
}

int main()
{
        int n;
        scanf("%d", &n);
        move(n, 'a', 'b', 'c');
        return 0;
}

參考：

遞歸函數

原文: 漢諾塔游戲的遞歸解析