參考書籍：《復雜網絡基礎理論》（侵刪）
第一章 緒論
人類把自己生存的世界變成了網絡世界，網絡越發達越有效，世界就越小，人的社會性就會得到強化（人是社會性動物可能就是這個意思吧）。
隨機網絡是指在由N個節點構成的圖中以概率p隨機連接任意兩個節點而成的網絡，即兩個節點之間連邊與否不再是確定的事，而是由概率P決定。
小世界性：六度分離
無標度性質的發現：指出在復雜網絡中節點的度分布具有冪指數函數的規律。
許多不同的復雜系統，其網絡結構都是無標度網絡，都是由少數集散節點主控的系統。
增長和偏好連接是形成無標度網絡的根本原因。
錢學森給出一個復雜網絡的嚴格定義：具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或者全部性質的網絡稱為復雜網絡。
復雜網絡的特性：復雜網絡的復雜性主要表現在以下幾個方面：
1）網絡規模龐大：網絡節點可以有成百上千，甚至更多，但大規模的網絡行為具有統計特性。
2）連接結構的復雜性
3）節點的復雜性：首先表現在節點的動力學復雜性；其次表現 在節點的多樣性
4）網絡時空演化過程復雜
5）網絡連接的稀疏性：一個有N個節點的具有全局耦合結構的網絡的連接數目為O(N^2),而實際大型網絡的連接數目通常為O（N）
6）多重復雜性融合
除此之外，還有以下三種特性：
1）小世界性：盡管網絡規模很大，但是任意兩個節點間卻有一條相當短的路徑
2）無標度特性：節點的度分布具有冪指數規律。（中心節點hubs）
3) 超家族特性：盡管網絡不同，只要組成網絡的基本單元（最小子圖）相同，他們的拓撲性質的重大外形就可能具有相似性。
數理統計基礎：概率論基礎、數理統計基礎、假設檢驗和回歸分析
1.條件概率
假設A,B是兩個事件，且P(A)>0,則P（B|A）=P(AB)/P(A) 稱為A發生的條件下B發生的條件概率。
2.貝葉斯公式
3.全概率公式
4.大數定律和中心極限定理
5.總體和樣本
6.統計量：樣本平均值、樣本方差、標准差、k階原點矩，k階中心矩
7抽樣分布：X^2分布，t分布，F分布
8.統計假設檢驗：
原假設（零假設）：H0
對立假設：H1
t檢驗
9.一元線性回歸分析
假設檢驗：F檢驗法和t檢驗法
圖論的基本概念：
1.節點集V和邊集G
圖可以定義為一個三元組：G=(V,E,φ),φ是邊集E到點集V的一個映射，稱為關聯函數。
V中的元素個數記為N=|V|，E中的元素個數記為M=|E|,他們分別為圖的階和邊數。
兩端點相同的邊稱為自環。
只有節點沒有邊的圖叫零圖；所有節點對之間均有邊連接的簡單圖稱為完全圖。
N階有向完全圖有N(N-1)條弧。
N階無向完全圖有N(N-1)/2條邊。
2.圖的路和連通性
圖G中的第k條路徑是指圖中的節點和邊交替出現而構成的有限序列。（起點，終點和內點）
若路徑所經歷的邊互不相同，則稱該路徑為簡單路徑
若路徑所經歷的節點互不相同，則稱該路徑為基本路徑。
連通性：若圖G中任意每對節點之間都有至少一條路徑存在，則稱G為連通圖。
在有向圖中，圖的連通性被分為三種：弱連通，單連通和強連通。
假設圖G=（V,E）是一個簡單圖，若去除節點v，使原來連通的圖變成不連通或分支數有增加，則稱節點是圖的一個割點。若去除邊，使原來連通的圖變成不連通或分支數有增加，則稱邊是圖的一個割邊。
不含割點的連通圖稱為塊；圖G的不含割點的最大連通分支稱為圖G的塊。
3 樹與生成樹
在圖論中，不含圈的連通圖稱為“樹”，或者說任意兩個節點間有且只有一條路徑的圖。
每個分支都是樹的非連通圖稱為“林”
（在研究與樹有關的概念時，邊的方向性對於研究結果是沒有影響的）
生成樹：假設圖H是圖G的生成子圖，並且兩個圖的分枝數相同，若圖H是林，則稱圖H是圖G的生成林；若圖H是樹，則稱圖H是圖G的生成樹。
構成生成樹的簡單方法：破圈法。
若圖G是一個加權連通圖，H是G的一棵生成樹，H的每條邊所賦權值之和稱為生成樹H的權。
加權連通圖G的具有最小權值的生成樹稱為該圖的最小生成樹，一個圖的最小生成樹也一定是唯一的。
4.圖的矩陣表示
鄰接矩陣：一個二維數組來存放節點連接關系的數據
關聯矩陣：節點和邊的關聯關系表示一個網絡。在無向網絡關聯矩陣中，每行對應於圖的一個節點，每列對應一條邊。如果一個節點與某條邊關聯，則關聯矩陣中對應的元素為1，否則為0. 關聯矩陣中的每列元素之和為2.
可達矩陣：可達矩陣中的元素：若節點之間可達，則為1，否則為0
5 網絡科學
可以歸納為五部分：測量；分析；建模；預測與控制；可視化
6.復雜網絡
復雜網絡研究的內容包括：網絡的幾何性質、網絡的形成機制、網絡演化的統計規律，網絡上的模型性質，網絡的結構穩定性，網絡的演化動力學機制等
如，對網絡同步特性與結構的關系的研究有助於網絡重構以及探索大腦網絡的組織結構