循環冗余校驗（CRC）

冗余碼

CRC和海明校驗類似，也是有效信息（k位）+校驗信息（r位），需要滿足N=k+r≤2^r-1

 

生成多項式G(X)

定義：收發雙方約定的一個（r+1）位二進制數，發送方利用G(X)對信息多項式做模2除運算，生成校驗碼。接收方利用G(X)對收到的編碼多項式做模2除運算檢測差錯及錯誤定位。

 

滿足條件：

1. 最高位和最低位必須為1；
2. 當被傳送信息（CRC碼）任何一位發生錯誤時，被生成多項式做除后應該使余數不為0；
3. 不同位發生錯誤時，模2除運算后余數不同；
4. 對不為0余數繼續進行模2除運算應使余數循環。

得到生成多項式

從最高冪位開始降位，有就為1，沒有就是0

例如：

G(x)多項式	G(x)
x3+x+1(x0)	1011
x3+x2	1100
x4+x2+1	10101

在利用G(X)對信息多項式做模2除運算時，運算原則（運算實際上就是異或運算）

1. 部0分余數首位為1時，商為1，減除數；（余數開頭為1，下一位接着除）
2. 部分余數首位為0時，商為0，減0（余數開頭為0，這位的商為0，下面減0）
3. 當部分余數的位數小於除數的位數時，該余數即為最后余數。（結束運算條件）

 

 

通過一道例題來熟悉過程

將4位有效信息1001編成循環校驗碼，選擇生成多項式x3+x1+x0,試寫出編碼過程

1.根據生成多項式，得到G(x)=1011

2.有效信息為4位，k=4,代入公式k+r≤2^r-1，得到r≥3

3.首先臨時在有效信息1001后面添加r位0的冗余碼，即1001000，計算1001000/1011,得到余數110

4.將余數替換有效信息后面的冗余碼，變為1001110

 

余數	出錯位 (A7A6A5A4A3A2A1)
000	無
001	7
010	6
100	5
011	4
110	3
111	2
101	1

 

 

在傳輸數據時，若對傳輸過去的數據進行模二運算，得到余數不為0，則數據發生變化，我們通過余數對比表，可以得到哪一位發生的變化。

例如，如果我們傳輸數據得到的是1001111，我們除以G(x)

 

 得到余數101，查表格也就是第一位出錯。