數字系統(數碼系統)

　　數字系統(數碼系統)定義了如何用獨特的符號來表示一個數字。

　　數字系統分為位置化數字系統和非位置化數字系統。

位置化數字系統

　　在位置化數字系統中，數字中符號所占據的位置決定了其表示的值。

位置化數字系統的表示

　　　　±(S_k-1S_k-2…S₃S₂S₁S₀.S_-1S_-2S_-3…S_-L)_b;

位置化數字系統的(十進制)值

　　 N=±S_k-1×b^k-1+S_k-2×b^k-2+…+S₃×b³+S₂×b²+S₁×b¹+S₀×b⁰+S_-1×b^-1+S_-2×b^-2+S_-3×b^-3+…+S_-L×b^-L;

　　其中：

• S是一套符號集。
• b是基數。
• 從小數點開始，b的幕可以從一個方向由0到k-l，還可以從另一個方向由-1到-L;
• 即b的非負數次幕與該數字的整數部分有關，而b的負數次冪與該數字的小數部分有關；
• ±符號表示該數字可正可負。

十進制系統(Decimal)

• 基數b=10;
• 符號集S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
• 整數值表示： N = ±S_k-1×10^k-1+S_k-2×10^k-2+…+S₃×10³+S₂×10²+S₁×10¹+S₀×10^0；
• 實數值表示： N = ±S_k-1×10^k-1+S_k-2×10^k-2+…+S₃×10³+S₂×10²+S₁×10¹+S₀×10⁰+S_-1×10^-1+S_-2×10^-2+S_-3×10^-3+…+S_-L×10^-L;

二進制系統(Binary)

• 基數b=2;
• 符號集S={0,1}；
• 整數值表示： N = ±S_k-1×2^k-1+S_k-2×2^k-2+…+S₃×2³+S₂×2²+S₁×2¹+S₀×2^0；
• 實數值表示： N = ±S_k-1×2^k-1+S_k-2×2^k-2+…+S₃×2³+S₂×2²+S₁×2¹+S₀×2⁰+S_-1×2^-1+S_-2×2^-2+S_-3×2^-3+…+S_-L×2^-L;

二進制的部分權值

權	(值)2	(值)10
20	1	1
21	10	2
22	100	4
23	1000	8
24	10000	16
25	100000	32
26	1000000	64
27	10000000	128
28	100000000	256
29	1000000000	512
210	10000000000	1024

 

 

十六進制系統(Hexadecimal)

 

• 基數b=16;
• 符號集S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}；
• A,B,C,D,E,F分別等於10,11,12,13,14,15；
• 整數值表示： N = ±S_k-1×16^k-1+S_k-2×16^k-2+…+S₃×16³+S₂×16²+S₁×16¹+S₀×16^0；
• 實數值表示：盡管一個實數可以用十六進制系統表示，但並不常見。

 

 八進制系統(Octal)

 

• 基數b=8;
• 符號集S={0,1,2,3,4,5,6,7}；
• 整數值表示： N = ±S_k-1×8^k-1+S_k-2×8^k-2+…+S₃×8³+S₂×8²+S₁×8¹+S₀×8^0；
• 實數值表示：盡管一個實數可以用八進制系統表示，但並不常見。

 

四種進位計數制小結

進位計數制	形式表示	基數	符號集	Example	Or Example
十進制	D	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	(123.12) 10	(123.12)D
二級制	B	2	0,1	(1001.11)2	(1001.11)B
八進制	O	8	0,1,2,3,4,5,6,7	(156.23) 8	(156.23)O
十六進制	H	16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F	(A2C.A1)16	(A2C.A1)H

比較四種進位計數制表示同一數字

十進制	二進制	八進制	十六進制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

 數字 15 在十進制中使用2個數碼，在二進制中使用4個數碼，在八進制中使用2個數碼,在十六進制中僅僅使用1個數碼；十六進制表示法顯然是最短的。即在采用不同的數制表示同一個數時，基數越大，則使用的位數越小。所以在程序的書寫中，一般采用八進制或十六進制表示數據。

 進制轉換——R進制轉換為十進制

　　 將R進制數按權展開求和即可等到相應的十進制數。

　　Example：將這三個數轉換為十進制數值。

　　　　　　　　(10110)_B = (1×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰)_D

　　　　　　　　　　　　  = (16+0+4+2+0)_D

　　　　　　　　　　　　  = (22)_D

 

　　　　　　　　(234)_O = (2×8²+3×8¹+4×8⁰)_D

　　　　　　　　　　　 = (128+24+4)_D

　　　　　　　　　　　 = (156)_D

 

　　　　　　　　(234)_H = (2×16²+3×16¹+4×16⁰)_D

　　　　　　　　　　　  = (512+48+4)_D

　　　　　　　　　　　  = (564)_D

 

 進制轉換——R進制轉換為十進制

　　整數部分：

　　將十進制整數轉換為R進制數，采用“除R取余法”，即將十進制整數連續地除以R取余數，直到商為0。將最后一個余數最為R進制數的第一位，將倒是第二個余數作為R進制數的第二位，依次類推得到R進制數的整數部分。

　　小數部分：

　　小數部分的轉換采用“乘R取整法”，即將十進制小數部分不斷乘以R取整，直到小數部分為0或達到要求的精度(當小數部分永遠不會達到0時)。取得的整數的排列次序與取得順序一致，即首次取得的整數作為R進制數小數部分的第一位，最后一次取得的整數作為R進制數小數部分的最后一位。

 

　　Example1：

　　(225.8125)_D → 二進制數

 

 

　　所以 (225.8125)_D = (11100001.1101)_B

　　Example2：

　　將十進制數225.15轉換八進制數。

　　 所以(225.15)_D = (341.114)_O。

 

 進制轉換——八進制十六進制之間的轉換 

　　計算及內部數據的表示和運算非常適合二進制，但位數過長 。所以在書寫程序和數據時，經常采用八進制或十六進制，這兩種進位計數制相比於二進制位數要簡短得多。

　　八進制與十六進制之間的轉換依賴於二進制、八進制、十六進制之間的特殊關系。

　　8¹ = 2³；　　  1位八進制數相當於3位二進制數。

　　16¹ = 2⁴；　　1位十六進制數相當於4位二進制數。

二進制數、八進制數、十六進制數之間的關系表

八進制數	對應二進制數	十六進制數	對應二進制數	十六進制數	對應二進制數
0	000	0	0000	8	1000
1	001	1	0001	9	1001
2	010	2	0010	A	1010
3	011	3	0011	B	1011
4	100	4	0100	C	1100
5	101	5	0101	D	1101
6	110	6	0110	E	1110
7	111	7	0111	F	1111

 　　根據這種對應關系。

　　將二進制轉換為八進制時，從小數點開始分別向左右兩邊分組，每3位為一組，兩頭不足3位補0。再分別進行轉換。

　　將二進制轉換為十六進制時，從小數點開始分別向左右兩邊分組，每4位為一組，兩頭不足4位補0。再分別進行轉換。

　　Example1：將二進制數(10101011.110101)_B分別轉換為八進制數和十六進制數。

　　(10101011.110101)_B = (010 101 011 • 110 101)_B = (253.65)_O 　　{010=2,101=5,011=3,110=6,101=5}；

　　(10101011.110101)_B = (1010 1011 • 1101 0100)_B = (AB.D4)_H {1010=A,1011=B,1101D,0100=4}；

 

　　同樣的，將八進制數或十六進制數轉換為二進制數，將八進制數的1位轉換為二進制數的3位，將十六進制數的1位轉換為二進制數的4位即可。

 

　　八進制數與十六進制數之間的轉換將二進制數作為中間量來完成。

非位置化數字系統(了解即可)

　　如羅馬數字

　　1-Ⅰ、2-Ⅱ、3-Ⅲ、4-Ⅳ、5-Ⅴ、6-Ⅵ、7-Ⅶ、8-Ⅷ、9-Ⅸ。

　　10-Ⅹ、11-Ⅺ、12-Ⅻ、13-XIII、14-XIV、15-XV、16-XVI、17-XVII、18-XVIII、19-XIX、20-XX