參考博客
https://blog.csdn.net/u010712012/article/details/77755567
https://blog.csdn.net/Reborn_Lee/article/details/87436090
參考論文
基於FPGA的自然對數變換器的設計與實現.pdf
前言
眾所周知，verilog並不能直接計算cos sin，但信號處理中卻可能用到cos sin等函數的求解問題。
一種足夠好的逼近方式為cordic。無需使用乘法操作，只是簡單的加減移位操作即可，這就可以很好的使用verilog操作啦。
cordic算法有旋轉模式和向量模式兩種，分別可在圓坐標系、線性坐標系、雙曲坐標系中使用。
在旋轉模式中，通過使Z逼近0，得到x,y。
在向量模式中，通過使y逼近0，得到x,z。
線性坐標系暫時沒有用到。
通過給定不同的初值，則可以求解不同的函數。
極坐標轉直角坐標
已知（z,r）,z表示角度，r表示極徑。則可以通過旋轉模式求解cos,sin。再乘r則得到實際上的直角坐標系（x,y）。
算法流程：本次迭代次數為16次，其他次數照着迭代公式寫即可，為方便fpga內部計算，數值均放大成整數，角度均放大了2^16次，則計算出來的最終結果也應相應除以2^16次。
1、 設置迭代次數為16，則x0 = 0.607253，y0 = 0，並輸入待計算的角度θ，θ在[-99.7°，99.7°]范圍內。
2、 根據三個迭代公式進行迭代，i從0至15：
xi+1 = xi – d iy i2-i
yi+1 = yi + d ix i2-i
zi+1 = zi - diθi
注：z0 = θ，di與zi同符號。
3、 經過16次迭代計算后，得到的x16 和y16分別為cosθ和sinθ。
計算出的cos和sin再乘r即可得到相應的直角坐標系點（x,y）。
算法的本質即從45度開始旋轉，直到z逼近0。而算法中的K本質上是個定值跟迭代次數有關，即∏cosθi。當迭代16次時，其值為
0.6072529351。
以下采用流水線對算法進行實現，可以獲得最大的吞吐率。如果想節約資源，自然可以用復用串行迭代。
原始cordic可以處理的角度范圍為[-99.7°，99.7°]，要想放大輸入角度范圍覆蓋[-pi,pi]，則需要前處理和后處理，使得角度處於第1和第4象限。
仿真結果如下所示：
角度輸入為33度，則結果為：cos：54959/2^16=0.838607788085938 ,sin:35697/2^16= 0.544692993164063
而matlab結果為：cos: 0.838670567945424 , sin: 0.544639035015027
可以看到誤差極小。
代碼僅供參考，勿做商業用途。
`timescale 1ns/1ps module cos_sin_cordic ( input i_clk , input i_en , input signed [31:0] i_angle , output o_en , output o_error , output [31:0] o_cos_x , output [31:0] o_sin_y ); ////parameter parameter p_angle_0 = 2949120, //45°放大2^16 p_angle_1 = 1740967, p_angle_2 = 919879, p_angle_3 = 466945, p_angle_4 = 234379, p_angle_5 = 117304, p_angle_6 = 58666, p_angle_7 = 29335, p_angle_8 = 14668, p_angle_9 = 7334, p_angle_10 = 3667, p_angle_11 = 1833, p_angle_12 = 917, p_angle_13 = 458, p_angle_14 = 229, p_angle_15 = 115; parameter p_x_initial = 39797; //0.6072529351放大了2^16次 parameter p_angle_p90 = 32'sd5898240, //90度放大2^16次 p_angle_n90 = -32'sd5898240, //-90度 p_angle_p180 = 32'sd11796480, //180 p_angle_n180 = -32'sd11796480, //-180 p_angle_p0 = 32'sd0; //角度象限判定 角度范圍為[-pi,pi] ////象限標識 //00: 第4象限 //01：第1象限 //10：第2象限 //11：第3象限 reg [31:0] r_angle = 32'd0; reg [1:0] r_quadrant_flag = 2'b00; reg r_error = 1'b0; //角度范圍輸入錯誤 always @(posedge i_clk) begin if ((i_angle < p_angle_n180) || (i_angle > p_angle_p180)) //越界報錯 r_error <= 1'b1; else r_error <= 1'b0; end always @(posedge i_clk) //角度象限判定 begin if ((i_angle >= p_angle_p0) && (i_angle <= p_angle_p90)) //第1象限 begin r_angle <= i_angle; r_quadrant_flag <= 2'b01; end else if (i_angle > p_angle_p90) //第2象限 begin r_angle <= i_angle - p_angle_p90; r_quadrant_flag <= 2'b10; end else if ((i_angle < p_angle_p0) && (i_angle >= p_angle_n90)) //第4象限 begin r_angle <= i_angle; r_quadrant_flag <= 2'b00; end else //第3象限 begin r_angle <= i_angle - p_angle_n90; r_quadrant_flag <= 2'b11; end end //賦初始值 reg [31:0] r_x_0 = 32'd0; reg [31:0] r_y_0 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_0 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin r_x_0 <= p_x_initial; r_y_0 <= 32'd0; r_angle_remain_0 <= r_angle; end //第1次旋轉 reg [31:0] r_x_1 = 32'd0; reg [31:0] r_y_1 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_1 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_0[31]) //負數 begin r_x_1 <= r_x_0 + r_y_0; r_y_1 <= r_y_0 - r_x_0; r_angle_remain_1 <= r_angle_remain_0 + p_angle_0; end else //角度為正 begin r_x_1 <= r_x_0 - r_y_0; r_y_1 <= r_y_0 + r_x_0; r_angle_remain_1 <= r_angle_remain_0 - p_angle_0; end end //第2次旋轉 reg [31:0] r_x_2 = 32'd0; reg [31:0] r_y_2 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_2 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_1[31]) //負數 begin r_x_2 <= r_x_1 + {{1{r_y_1[31]}},r_y_1[31:1]}; r_y_2 <= r_y_1 - {{1{r_x_1[31]}},r_x_1[31:1]}; r_angle_remain_2 <= r_angle_remain_1 + p_angle_1; end else //角度為正 begin r_x_2 <= r_x_1 - {{1{r_y_1[31]}},r_y_1[31:1]}; r_y_2 <= r_y_1 + {{1{r_x_1[31]}},r_x_1[31:1]}; r_angle_remain_2 <= r_angle_remain_1 - p_angle_1; end end //第3次旋轉 reg [31:0] r_x_3 = 32'd0; reg [31:0] r_y_3 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_3 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_2[31]) //負數 begin r_x_3 <= r_x_2 + {{2{r_y_2[31]}},r_y_2[31:2]}; r_y_3 <= r_y_2 - {{2{r_x_2[31]}},r_x_2[31:2]}; r_angle_remain_3 <= r_angle_remain_2 + p_angle_2; end else //角度為正 begin r_x_3 <= r_x_2 - {{2{r_y_2[31]}},r_y_2[31:2]}; r_y_3 <= r_y_2 + {{2{r_x_2[31]}},r_x_2[31:2]}; r_angle_remain_3 <= r_angle_remain_2 - p_angle_2; end end //第4次旋轉 reg [31:0] r_x_4 = 32'd0; reg [31:0] r_y_4 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_4 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_3[31]) //負數 begin r_x_4 <= r_x_3 + {{3{r_y_3[31]}},r_y_3[31:3]}; r_y_4 <= r_y_3 - {{3{r_x_3[31]}},r_x_3[31:3]}; r_angle_remain_4 <= r_angle_remain_3 + p_angle_3; end else //角度為正 begin r_x_4 <= r_x_3 - {{3{r_y_3[31]}},r_y_3[31:3]}; r_y_4 <= r_y_3 + {{3{r_x_3[31]}},r_x_3[31:3]}; r_angle_remain_4 <= r_angle_remain_3 - p_angle_3; end end //第5次旋轉 reg [31:0] r_x_5 = 32'd0; reg [31:0] r_y_5 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_5 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_4[31]) //負數 begin r_x_5 <= r_x_4 + {{4{r_y_4[31]}},r_y_4[31:4]}; r_y_5 <= r_y_4 - {{4{r_x_4[31]}},r_x_4[31:4]}; r_angle_remain_5 <= r_angle_remain_4 + p_angle_4; end else //角度為正 begin r_x_5 <= r_x_4 - {{4{r_y_4[31]}},r_y_4[31:4]}; r_y_5 <= r_y_4 + {{4{r_x_4[31]}},r_x_4[31:4]}; r_angle_remain_5 <= r_angle_remain_4 - p_angle_4; end end //第6次旋轉 reg [31:0] r_x_6 = 32'd0; reg [31:0] r_y_6 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_6 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_5[31]) //負數 begin r_x_6 <= r_x_5 + {{5{r_y_5[31]}},r_y_5[31:5]}; r_y_6 <= r_y_5 - {{5{r_x_5[31]}},r_x_5[31:5]}; r_angle_remain_6 <= r_angle_remain_5 + p_angle_5; end else //角度為正 begin r_x_6 <= r_x_5 - {{5{r_y_5[31]}},r_y_5[31:5]}; r_y_6 <= r_y_5 + {{5{r_x_5[31]}},r_x_5[31:5]}; r_angle_remain_6 <= r_angle_remain_5 - p_angle_5; end end //第7次旋轉 reg [31:0] r_x_7 = 32'd0; reg [31:0] r_y_7 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_7 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_6[31]) //負數 begin r_x_7 <= r_x_6 + {{6{r_y_6[31]}},r_y_6[31:6]}; r_y_7 <= r_y_6 - {{6{r_x_6[31]}},r_x_6[31:6]}; r_angle_remain_7 <= r_angle_remain_6 + p_angle_6; end else //角度為正 begin r_x_7 <= r_x_6 - {{6{r_y_6[31]}},r_y_6[31:6]}; r_y_7 <= r_y_6 + {{6{r_x_6[31]}},r_x_6[31:6]}; r_angle_remain_7 <= r_angle_remain_6 - p_angle_6; end end //第8次旋轉 reg [31:0] r_x_8 = 32'd0; reg [31:0] r_y_8 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_8 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_7[31]) //負數 begin r_x_8 <= r_x_7 + {{7{r_y_7[31]}},r_y_7[31:7]}; r_y_8 <= r_y_7 - {{7{r_x_7[31]}},r_x_7[31:7]}; r_angle_remain_8 <= r_angle_remain_7 + p_angle_7; end else //角度為正 begin r_x_8 <= r_x_7 - {{7{r_y_7[31]}},r_y_7[31:7]}; r_y_8 <= r_y_7 + {{7{r_x_7[31]}},r_x_7[31:7]}; r_angle_remain_8 <= r_angle_remain_7 - p_angle_7; end end //第9次旋轉 reg [31:0] r_x_9 = 32'd0; reg [31:0] r_y_9 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_9 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_8[31]) //負數 begin r_x_9 <= r_x_8 + {{8{r_y_8[31]}},r_y_8[31:8]}; r_y_9 <= r_y_8 - {{8{r_x_8[31]}},r_x_8[31:8]}; r_angle_remain_9 <= r_angle_remain_8 + p_angle_8; end else //角度為正 begin r_x_9 <= r_x_8 - {{8{r_y_8[31]}},r_y_8[31:8]}; r_y_9 <= r_y_8 + {{8{r_x_8[31]}},r_x_8[31:8]}; r_angle_remain_9 <= r_angle_remain_8 - p_angle_8; end end //第10次旋轉 reg [31:0] r_x_10 = 32'd0; reg [31:0] r_y_10 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_10 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_9[31]) //負數 begin r_x_10 <= r_x_9 + {{9{r_y_9[31]}},r_y_9[31:9]}; r_y_10 <= r_y_9 - {{9{r_x_9[31]}},r_x_9[31:9]}; r_angle_remain_10 <= r_angle_remain_9 + p_angle_9; end else //角度為正 begin r_x_10 <= r_x_9 - {{9{r_y_9[31]}},r_y_9[31:9]}; r_y_10 <= r_y_9 + {{9{r_x_9[31]}},r_x_9[31:9]}; r_angle_remain_10 <= r_angle_remain_9 - p_angle_9; end end //第11次旋轉 reg [31:0] r_x_11 = 32'd0; reg [31:0] r_y_11 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_11 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_10[31]) //負數 begin r_x_11 <= r_x_10 + {{10{r_y_10[31]}},r_y_10[31:10]}; r_y_11 <= r_y_10 - {{10{r_x_10[31]}},r_x_10[31:10]}; r_angle_remain_11 <= r_angle_remain_10 + p_angle_10; end else //角度為正 begin r_x_11 <= r_x_10 - {{10{r_y_10[31]}},r_y_10[31:10]}; r_y_11 <= r_y_10 + {{10{r_x_10[31]}},r_x_10[31:10]}; r_angle_remain_11 <= r_angle_remain_10 - p_angle_10; end end //第12次旋轉 reg [31:0] r_x_12 = 32'd0; reg [31:0] r_y_12 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_12 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_11[31]) //負數 begin r_x_12 <= r_x_11 + {{11{r_y_11[31]}},r_y_11[31:11]}; r_y_12 <= r_y_11 - {{11{r_x_11[31]}},r_x_11[31:11]}; r_angle_remain_12 <= r_angle_remain_11 + p_angle_11; end else //角度為正 begin r_x_12 <= r_x_11 - {{11{r_y_11[31]}},r_y_11[31:11]}; r_y_12 <= r_y_11 + {{11{r_x_11[31]}},r_x_11[31:11]}; r_angle_remain_12 <= r_angle_remain_11 - p_angle_11; end end //第13次旋轉 reg [31:0] r_x_13 = 32'd0; reg [31:0] r_y_13 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_13 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_12[31]) //負數 begin r_x_13 <= r_x_12 + {{12{r_y_12[31]}},r_y_12[31:12]}; r_y_13 <= r_y_12 - {{12{r_x_12[31]}},r_x_12[31:12]}; r_angle_remain_13 <= r_angle_remain_12 + p_angle_12; end else //角度為正 begin r_x_13 <= r_x_12 - {{12{r_y_12[31]}},r_y_12[31:12]}; r_y_13 <= r_y_12 + {{12{r_x_12[31]}},r_x_12[31:12]}; r_angle_remain_13 <= r_angle_remain_12 - p_angle_12; end end //第14次旋轉 reg [31:0] r_x_14 = 32'd0; reg [31:0] r_y_14 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_14 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_13[31]) //負數 begin r_x_14 <= r_x_13 + {{13{r_y_13[31]}},r_y_13[31:13]}; r_y_14 <= r_y_13 - {{13{r_x_13[31]}},r_x_13[31:13]}; r_angle_remain_14 <= r_angle_remain_13 + p_angle_13; end else //角度為正 begin r_x_14 <= r_x_13 - {{13{r_y_13[31]}},r_y_13[31:13]}; r_y_14 <= r_y_13 + {{13{r_x_13[31]}},r_x_13[31:13]}; r_angle_remain_14 <= r_angle_remain_13 - p_angle_13; end end //第15次旋轉 reg [31:0] r_x_15 = 32'd0; reg [31:0] r_y_15 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_15 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_14[31]) //負數 begin r_x_15 <= r_x_14 + {{14{r_y_14[31]}},r_y_14[31:14]}; r_y_15 <= r_y_14 - {{14{r_x_14[31]}},r_x_14[31:14]}; r_angle_remain_15 <= r_angle_remain_14 + p_angle_14; end else //角度為正 begin r_x_15 <= r_x_14 - {{14{r_y_14[31]}},r_y_14[31:14]}; r_y_15 <= r_y_14 + {{14{r_x_14[31]}},r_x_14[31:14]}; r_angle_remain_15 <= r_angle_remain_14 - p_angle_14; end end //第16次旋轉 reg [31:0] r_x_16 = 32'd0; reg [31:0] r_y_16 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_16 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_angle_remain_15[31]) //負數 begin r_x_16 <= r_x_15 + {{15{r_y_15[31]}},r_y_15[31:15]}; r_y_16 <= r_y_15 - {{15{r_x_15[31]}},r_x_15[31:15]}; r_angle_remain_16 <= r_angle_remain_15 + p_angle_15; end else //角度為正 begin r_x_16 <= r_x_15 - {{15{r_y_15[31]}},r_y_15[31:15]}; r_y_16 <= r_y_15 + {{15{r_x_15[31]}},r_x_15[31:15]}; r_angle_remain_16 <= r_angle_remain_15 - p_angle_15; end end //計算結果轉化為真實結果 //flag延遲16+1+1 reg [31:0] r_cos_x; reg [31:0] r_sin_y; reg [16:0] r_quadrant_flag_delay_0 = 17'd0; reg [16:0] r_quadrant_flag_delay_1 = 17'd0; always @(posedge i_clk) begin r_quadrant_flag_delay_0 <= {r_quadrant_flag_delay_0[15:0],r_quadrant_flag[0]}; r_quadrant_flag_delay_1 <= {r_quadrant_flag_delay_1[15:0],r_quadrant_flag[1]}; end wire [1:0] demo; assign demo = {r_quadrant_flag_delay_1[16],r_quadrant_flag_delay_0[16]}; always @(posedge i_clk) begin case ({r_quadrant_flag_delay_1[16],r_quadrant_flag_delay_0[16]}) 2'b01: //第1象限 begin r_cos_x <= r_x_16; r_sin_y <= r_y_16; end 2'b10: //第2象限 begin r_cos_x <= ~r_y_16 + 1'b1; r_sin_y <= r_x_16; end 2'b11: //第3象限 begin r_cos_x <= r_y_16; r_sin_y <= ~r_x_16 + 1'b1; end 2'b00: //第4象限 begin r_cos_x <= r_x_16; r_sin_y <= r_y_16; end endcase end ////使能延遲對齊輸出,延遲1+1+16+1 reg [18:0] r_en_delay = 19'd0; always @(posedge i_clk) begin r_en_delay <= {r_en_delay[17:0],i_en}; end reg [17:0] r_error_delay = 18'd0; always @(posedge i_clk) begin r_error_delay <= {r_error_delay[16:0],r_error}; end //信號輸出 assign o_cos_x = r_cos_x; assign o_sin_y = r_sin_y; assign o_error = r_error_delay[17]; assign o_en = r_en_delay[18]; endmodule // end the cos_sin_cordic model;
直角坐標轉極坐標
已知(x,y)求解(z,r)，
算法流程：
設置迭代次數為16，則x0 = x，y0 = y，z0 = 0，di與yi的符號相反。表示，經過n次旋轉，使Pn靠近x軸。
因此，當迭代結束之后，Pn將近似接近x軸，此時yn = 0，可知旋轉了θ，即zn = θ = arctan(y/x)。r= xn * ∏cosθi。即r=xn*K。而16次迭代下的K值為0.6072529351。
迭代公式如下：
xi+1 = xi – d iy i2-i
yi+1 = yi + d ix i2-i
zi+1 = zi - diθi
仿真結果如下所示。
x和y均為10000。
θ = 2949406/2^16 = 45.0044；R = 23291*K=23291* 0.6072529351= 14143.5281114141，跟matlab結果比較：14142.135623731
誤差較小。
代碼如下，勿做商業用途。
`timescale 1ns/1ps module z_r_cordic ( input i_clk , input i_en , input [31:0] i_x , input [31:0] i_y , output o_en , output [31:0] o_angle , output [31:0] o_r ); ////parameter parameter p_angle_0 = 2949120, //45°放大2^16 p_angle_1 = 1740967, p_angle_2 = 919879, p_angle_3 = 466945, p_angle_4 = 234379, p_angle_5 = 117304, p_angle_6 = 58666, p_angle_7 = 29335, p_angle_8 = 14668, p_angle_9 = 7334, p_angle_10 = 3667, p_angle_11 = 1833, p_angle_12 = 917, p_angle_13 = 458, p_angle_14 = 229, p_angle_15 = 115; //賦初始值 reg [31:0] r_x_0 = 32'd0; reg [31:0] r_y_0 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_0 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin r_x_0 <= i_x; r_y_0 <= i_y; r_angle_remain_0 <= 32'd0; end //第1次旋轉 reg [31:0] r_x_1 = 32'd0; reg [31:0] r_y_1 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_1 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_0[31]) //負數 begin r_x_1 <= r_x_0 - r_y_0; r_y_1 <= r_y_0 + r_x_0; r_angle_remain_1 <= r_angle_remain_0 - p_angle_0; end else //角度為正 begin r_x_1 <= r_x_0 + r_y_0; r_y_1 <= r_y_0 - r_x_0; r_angle_remain_1 <= r_angle_remain_0 + p_angle_0; end end //第2次旋轉 reg [31:0] r_x_2 = 32'd0; reg [31:0] r_y_2 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_2 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_1[31]) //負數 begin r_x_2 <= r_x_1 - {{1{r_y_1[31]}},r_y_1[31:1]}; r_y_2 <= r_y_1 + {{1{r_x_1[31]}},r_x_1[31:1]}; r_angle_remain_2 <= r_angle_remain_1 - p_angle_1; end else //角度為正 begin r_x_2 <= r_x_1 + {{1{r_y_1[31]}},r_y_1[31:1]}; r_y_2 <= r_y_1 - {{1{r_x_1[31]}},r_x_1[31:1]}; r_angle_remain_2 <= r_angle_remain_1 + p_angle_1; end end //第3次旋轉 reg [31:0] r_x_3 = 32'd0; reg [31:0] r_y_3 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_3 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_2[31]) //負數 begin r_x_3 <= r_x_2 - {{2{r_y_2[31]}},r_y_2[31:2]}; r_y_3 <= r_y_2 + {{2{r_x_2[31]}},r_x_2[31:2]}; r_angle_remain_3 <= r_angle_remain_2 - p_angle_2; end else //角度為正 begin r_x_3 <= r_x_2 + {{2{r_y_2[31]}},r_y_2[31:2]}; r_y_3 <= r_y_2 - {{2{r_x_2[31]}},r_x_2[31:2]}; r_angle_remain_3 <= r_angle_remain_2 + p_angle_2; end end //第4次旋轉 reg [31:0] r_x_4 = 32'd0; reg [31:0] r_y_4 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_4 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_3[31]) //負數 begin r_x_4 <= r_x_3 - {{3{r_y_3[31]}},r_y_3[31:3]}; r_y_4 <= r_y_3 + {{3{r_x_3[31]}},r_x_3[31:3]}; r_angle_remain_4 <= r_angle_remain_3 - p_angle_3; end else //角度為正 begin r_x_4 <= r_x_3 + {{3{r_y_3[31]}},r_y_3[31:3]}; r_y_4 <= r_y_3 - {{3{r_x_3[31]}},r_x_3[31:3]}; r_angle_remain_4 <= r_angle_remain_3 + p_angle_3; end end //第5次旋轉 reg [31:0] r_x_5 = 32'd0; reg [31:0] r_y_5 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_5 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_4[31]) //負數 begin r_x_5 <= r_x_4 - {{4{r_y_4[31]}},r_y_4[31:4]}; r_y_5 <= r_y_4 + {{4{r_x_4[31]}},r_x_4[31:4]}; r_angle_remain_5 <= r_angle_remain_4 - p_angle_4; end else //角度為正 begin r_x_5 <= r_x_4 + {{4{r_y_4[31]}},r_y_4[31:4]}; r_y_5 <= r_y_4 - {{4{r_x_4[31]}},r_x_4[31:4]}; r_angle_remain_5 <= r_angle_remain_4 + p_angle_4; end end //第6次旋轉 reg [31:0] r_x_6 = 32'd0; reg [31:0] r_y_6 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_6 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_5[31]) //負數 begin r_x_6 <= r_x_5 - {{5{r_y_5[31]}},r_y_5[31:5]}; r_y_6 <= r_y_5 + {{5{r_x_5[31]}},r_x_5[31:5]}; r_angle_remain_6 <= r_angle_remain_5 - p_angle_5; end else //角度為正 begin r_x_6 <= r_x_5 + {{5{r_y_5[31]}},r_y_5[31:5]}; r_y_6 <= r_y_5 - {{5{r_x_5[31]}},r_x_5[31:5]}; r_angle_remain_6 <= r_angle_remain_5 + p_angle_5; end end //第7次旋轉 reg [31:0] r_x_7 = 32'd0; reg [31:0] r_y_7 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_7 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_6[31]) //負數 begin r_x_7 <= r_x_6 - {{6{r_y_6[31]}},r_y_6[31:6]}; r_y_7 <= r_y_6 + {{6{r_x_6[31]}},r_x_6[31:6]}; r_angle_remain_7 <= r_angle_remain_6 - p_angle_6; end else //角度為正 begin r_x_7 <= r_x_6 + {{6{r_y_6[31]}},r_y_6[31:6]}; r_y_7 <= r_y_6 - {{6{r_x_6[31]}},r_x_6[31:6]}; r_angle_remain_7 <= r_angle_remain_6 + p_angle_6; end end //第8次旋轉 reg [31:0] r_x_8 = 32'd0; reg [31:0] r_y_8 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_8 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_7[31]) //負數 begin r_x_8 <= r_x_7 - {{7{r_y_7[31]}},r_y_7[31:7]}; r_y_8 <= r_y_7 + {{7{r_x_7[31]}},r_x_7[31:7]}; r_angle_remain_8 <= r_angle_remain_7 - p_angle_7; end else //角度為正 begin r_x_8 <= r_x_7 + {{7{r_y_7[31]}},r_y_7[31:7]}; r_y_8 <= r_y_7 - {{7{r_x_7[31]}},r_x_7[31:7]}; r_angle_remain_8 <= r_angle_remain_7 + p_angle_7; end end //第9次旋轉 reg [31:0] r_x_9 = 32'd0; reg [31:0] r_y_9 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_9 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_8[31]) //負數 begin r_x_9 <= r_x_8 - {{8{r_y_8[31]}},r_y_8[31:8]}; r_y_9 <= r_y_8 + {{8{r_x_8[31]}},r_x_8[31:8]}; r_angle_remain_9 <= r_angle_remain_8 - p_angle_8; end else //角度為正 begin r_x_9 <= r_x_8 + {{8{r_y_8[31]}},r_y_8[31:8]}; r_y_9 <= r_y_8 - {{8{r_x_8[31]}},r_x_8[31:8]}; r_angle_remain_9 <= r_angle_remain_8 + p_angle_8; end end //第10次旋轉 reg [31:0] r_x_10 = 32'd0; reg [31:0] r_y_10 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_10 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_9[31]) //負數 begin r_x_10 <= r_x_9 - {{9{r_y_9[31]}},r_y_9[31:9]}; r_y_10 <= r_y_9 + {{9{r_x_9[31]}},r_x_9[31:9]}; r_angle_remain_10 <= r_angle_remain_9 - p_angle_9; end else //角度為正 begin r_x_10 <= r_x_9 + {{9{r_y_9[31]}},r_y_9[31:9]}; r_y_10 <= r_y_9 - {{9{r_x_9[31]}},r_x_9[31:9]}; r_angle_remain_10 <= r_angle_remain_9 + p_angle_9; end end //第11次旋轉 reg [31:0] r_x_11 = 32'd0; reg [31:0] r_y_11 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_11 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_10[31]) //負數 begin r_x_11 <= r_x_10 - {{10{r_y_10[31]}},r_y_10[31:10]}; r_y_11 <= r_y_10 + {{10{r_x_10[31]}},r_x_10[31:10]}; r_angle_remain_11 <= r_angle_remain_10 - p_angle_10; end else //角度為正 begin r_x_11 <= r_x_10 + {{10{r_y_10[31]}},r_y_10[31:10]}; r_y_11 <= r_y_10 - {{10{r_x_10[31]}},r_x_10[31:10]}; r_angle_remain_11 <= r_angle_remain_10 + p_angle_10; end end //第12次旋轉 reg [31:0] r_x_12 = 32'd0; reg [31:0] r_y_12 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_12 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_11[31]) //負數 begin r_x_12 <= r_x_11 - {{11{r_y_11[31]}},r_y_11[31:11]}; r_y_12 <= r_y_11 + {{11{r_x_11[31]}},r_x_11[31:11]}; r_angle_remain_12 <= r_angle_remain_11 - p_angle_11; end else //角度為正 begin r_x_12 <= r_x_11 + {{11{r_y_11[31]}},r_y_11[31:11]}; r_y_12 <= r_y_11 - {{11{r_x_11[31]}},r_x_11[31:11]}; r_angle_remain_12 <= r_angle_remain_11 + p_angle_11; end end //第13次旋轉 reg [31:0] r_x_13 = 32'd0; reg [31:0] r_y_13 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_13 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_12[31]) //負數 begin r_x_13 <= r_x_12 - {{12{r_y_12[31]}},r_y_12[31:12]}; r_y_13 <= r_y_12 + {{12{r_x_12[31]}},r_x_12[31:12]}; r_angle_remain_13 <= r_angle_remain_12 - p_angle_12; end else //角度為正 begin r_x_13 <= r_x_12 + {{12{r_y_12[31]}},r_y_12[31:12]}; r_y_13 <= r_y_12 - {{12{r_x_12[31]}},r_x_12[31:12]}; r_angle_remain_13 <= r_angle_remain_12 + p_angle_12; end end //第14次旋轉 reg [31:0] r_x_14 = 32'd0; reg [31:0] r_y_14 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_14 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_13[31]) //負數 begin r_x_14 <= r_x_13 - {{13{r_y_13[31]}},r_y_13[31:13]}; r_y_14 <= r_y_13 + {{13{r_x_13[31]}},r_x_13[31:13]}; r_angle_remain_14 <= r_angle_remain_13 - p_angle_13; end else //角度為正 begin r_x_14 <= r_x_13 + {{13{r_y_13[31]}},r_y_13[31:13]}; r_y_14 <= r_y_13 - {{13{r_x_13[31]}},r_x_13[31:13]}; r_angle_remain_14 <= r_angle_remain_13 + p_angle_13; end end //第15次旋轉 reg [31:0] r_x_15 = 32'd0; reg [31:0] r_y_15 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_15 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_14[31]) //負數 begin r_x_15 <= r_x_14 - {{14{r_y_14[31]}},r_y_14[31:14]}; r_y_15 <= r_y_14 + {{14{r_x_14[31]}},r_x_14[31:14]}; r_angle_remain_15 <= r_angle_remain_14 - p_angle_14; end else //角度為正 begin r_x_15 <= r_x_14 + {{14{r_y_14[31]}},r_y_14[31:14]}; r_y_15 <= r_y_14 - {{14{r_x_14[31]}},r_x_14[31:14]}; r_angle_remain_15 <= r_angle_remain_14 + p_angle_14; end end //第16次旋轉 reg [31:0] r_x_16 = 32'd0; reg [31:0] r_y_16 = 32'd0; reg [31:0] r_angle_remain_16 = 32'd0; always @(posedge i_clk) begin if (r_y_14[31]) //負數 begin r_x_16 <= r_x_15 - {{15{r_y_15[31]}},r_y_15[31:15]}; r_y_16 <= r_y_15 + {{15{r_x_15[31]}},r_x_15[31:15]}; r_angle_remain_16 <= r_angle_remain_15 - p_angle_15; end else //角度為正 begin r_x_16 <= r_x_15 + {{15{r_y_15[31]}},r_y_15[31:15]}; r_y_16 <= r_y_15 - {{15{r_x_15[31]}},r_x_15[31:15]}; r_angle_remain_16 <= r_angle_remain_15 + p_angle_15; end end ////使能延遲對齊輸出 reg [16:0] r_en_delay = 17'd0; always @(posedge i_clk) begin r_en_delay <= {r_en_delay[15:0],i_en}; end ////信號輸出 assign o_angle = r_angle_remain_16; assign o_r = r_x_16; assign o_en = r_en_delay[16]; endmodule // end the z_r_cordic model;
雙曲反正切的妙用
雙曲反正切有啥用呢，如果你想求log10，冥思苦想，這玩意咋用verilog求？而我們知道如下公式：
則log10就可以轉化為求解arctanh的值。而我們知道，arctanh是可以用cordic在雙曲模式下求解其值的。所以，log就可以用cordic求解。
在雙曲模式下的算法迭代跟其他的不一樣，涉及到收斂問題，且從N為4開始，每當3k+1的項需要重復迭代。即1,2,3,4,4,5,6.....12,13,13,14.....
而同時簡單的正數迭代，y和x的取值范圍十分有限，對於arctanh((r-1)/(r+1))的r最大值僅僅為9，簡直是不可用的。
還好前人早已想到了這個問題，請參考論文，需要添加負數次的迭代，擴大定義域。
算法過程：
1.取x=r+1,y=r-1,z=0。當Y迭代逼近0的時候，z的值即為arctanh((r-1)/(r+1))的值。取迭代次數為16次的時候，N=-5起始迭代。則可以事先求解出相應的arctanh值作為常量供迭代方程加減。
2.迭代公式，選取從N=-5處開始迭代，則有
3.編寫verilog代碼。
仿真一下看看。
r=10仿真結果如下所示：x,y首先均左移8位。
log10(10) = 71047/2^16*0.86858896 = 0.9416
log10(100) = 125429/2^16*0.86858896 = 1.6624
log10(1000) =225544/2^16*0.86858896 = 2.9893
log10(10000) = 299021/2^16*0.86858896 = 3.9631
有一定的誤差，跟迭代次數和迭代輸入值x,y有關
注意事項：（1）處理中間結果的越界問題，位寬需要注意。
（2）如果r輸入是個很小的數，比如10，可能還沒迭代兩次，y就到0了，必然導致結果的誤差過大，則可以放大x和y，畢竟我們知道arctanh(y/x)=arctanh(y*k/(x*k))的。
所以結果並不會發生改變，但可以使得迭代更多次，保證精度。當然預先做個數值范圍判定移位更佳。
（3）算術移位的問題，必須定義signed，否則會有問題的。還是老實使用拼接截位操作得好。
以上只是對算法進行了功能的實現，側重點並不在資源量的最優。
以上。