三元組

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\(\mathcal{Description}\)

給定 \(n,k\),對於一 個三元組\((a, b, c)\),若合法則需要滿足\(1 ≤ a, b, c ≤ n\),且兩兩元素之和均為\(k\)的倍數。
求不同的合法的三元組有多少個。
三元組的相應的任意一 位不同則認為他們不同。
\(\mathcal{Solution}\)

設 \(a=x_1k,b=x_2k,c=x_3k\)
\(x1,x2,x3\in [0,n/k]\) (包括小數)
則有
\(a+b=(x_1+x_2)k\)
\(b+c=(x_2+x_3)k\)
\(a+c=(x_1+x_3)k\)
即
\(x_1+x_2\in Z\)
\(x_2+x_3\in Z\)
\(x_1+x_3\in Z\)
所以可以知道

• 若\(x1,x2,x3\in Z\)
  則\(x1,x2,x3\)有\(n/k\)種選擇
  • 當三個數字全部不相同　有\(C_{n/k}^3\)種搭配，每種搭配有６種排列方式
  • 當三個數字有兩個相同　有\(C_{n/k}^2\)種搭配，每種搭配有６種排列方式
  • 當三個數字全部都相同　有\(n/k\)種搭配，每種搭配有１種排列方式
• 若\(x1,x2,x3∉ Z\)
  又\(\because x1,x2,x3\)兩兩相加為整數
  \(∴x1,x2,x3=ik+\frac{k}{2},i\in Z\)
  此時條件\(k\%2==0\)
  則\(x1,x2,x3\)有\(n/\frac{k}{2}-n/k\)種選擇
  接下來的計算同上

代碼

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年06月13日 星期四 08時19分25秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
using namespace std;
int n,k,tim,hal;
ll ans;
ll C3 (int n) { return 1ll*n*(n-1)/2*(n-2)/3; }
ll C2 (int n) { return 1ll*n*(n-1)/2; }
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	tim=n/k;
	if ((k-1)&1){
		hal=n/(k/2)-tim;
		ans+=6*C3(hal)+6*C2(hal)+hal;
	}
	ans+=6*C3(tim)+6*C2(tim)+tim;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}