關於滿減優惠券疊加的背包算法

昨天同事遇到一個優惠券使用的問題，用下班時間和早上研究了下，和動態規划的背包問題有關，但又不同於背包，感覺比較有意思就在這里做個記錄，在群里討論和梳理成文字也使自己更清晰的了解自己知道什么。

問題描述

問題的精簡描述為：購買商品時，有多張滿減優惠券可用（可疊加使用），求最優策略（減免最多）。 准確描述為：

設共有n張優惠券C: [(V1, D1), (V2, D2), (V3, D3), ..., (Vn, Dn)]，其中Vn為面值，Dn為減免值（對於一張優惠券Cx，滿Vx減Dx），優惠券為單張，可疊加使用（使用過一張后，如果滿足面值還可以使用其他優惠券）。求商品價值為M時，使用優惠券的最優策略：1.減免值最多，2.優惠券剩余最優（比如對於 C1 (2, 0.1) 、C2 (1, 0.1) 只能選擇一張的最優取舍就是用C1留C2 ）。

輸入：

​ C = [(2, 1.9), (1, 1), (1, 0.1), (2, 0.1)] , M = 3

期望輸出：

​ 使用優惠券：[(2, 0.1), (2,1.9), (1,1)]

​ 總減免：3

看到其他人推薦背包，由於沒用過背包算法，通過 動態算法規划算法背包問題 學習了下背包的思想。順便了解一下動態規划能解決什么問題：

適用動態規划方法求解的最優化問題應該具備的兩個要素：最優子結構和子問題重疊。——《算法導論》動態規划原理

優惠券問題看起來和背包問題很像，但是有一點不同

一點不同

圖1 背包問題和優惠券問題的不同

圖中，背包問題里面的數據為：在負重已知的前提下能裝物品的最優總價值；優惠券問題里面的數據為總金額能使用優惠券的最優總減免值。

對於背包問題，如果負重為4，策略只能是拿2號物品，因為拿取2號之后負重還剩（4-3=1），再拿不了1號物品了（最終價值為1.5）；對於優惠券問題，如果金額為4，使用完2號優惠券之后，金額還剩（4-1.5=2.5），還可以再用1號優惠券的（最終減免值為2.5）。

總結這個不同就是：背包判斷大於重量W，再減去W，得到剩余值再去上一層找最優解（統計價值）；優惠券則是需要判斷大於面額V，再減去減免值D，剩余值再去上一層找最優解（統計減免值D）。

而且因為這個不同，優惠券問題的數據對優惠券順序是有要求的，不像背包問題中，總是負重減物品重量，剩余的重量直接去找上次最優再計算就好了。順序問題分兩種：

兩種順序

一、對於優惠券，不同面額的順序

圖2 優惠券面額順序對結果的影響

圖中，將物品和券的順序顛倒，對於背包問題，最后一行數據完全相同，對結果無影響；對於優惠券問題，順序變了結果會不一樣。（因為需要滿足優惠券(v,d), 中的v才能減去第二項，所以對順序有要求）。所以，不同面額 (V不同) 的優惠券，應該升序排列。

二、面額相同，減免值不同

圖3 優惠券面額相同，不同減免值的順序對結果的影響

因為背包思想是通過上一次的結果來鋪墊下一次的值，所以從上往下需要先生成同額度的最優值。所以，同面額不同減免值 (V同D不同) 的優惠券，應該降序排列。

排序示例為：

[
    (2, 1.9), 
    (1, 1), 
    (1, 0.1), 
    (2, 0.1)
]

需排列為

[
    (1, 1),
    (1, 0.1),
    (2, 1.9),
    (2, 0.1),
]

綜以上 一點不同兩種順序 的情況所述，使用背包之前需要排序（V升D降），按V升序，如果V相同，再按D降序排。再使用背包算法（大於V減去D）。

還沒有優化的程序

本來想說一句，思路有了，程序都不重要。但是，在寫的過程中，這個排序思路（V升D降），是試出來的，而不是先想好的。所以動手還是很重要的，不然我的腦子還想不長遠。

用的多維數組，可以優化的點有：用一維數組存儲；間隔優化（如果優惠券有分，span為100，那數組就很大了）。Python 版程序：

# coding:utf-8
# 背包算法，解決滿減優惠券疊加使用問題

def coupon_bags(coupon, amount):
    """
        優惠券背包算法
        param: coupon 優惠券數組
        param: amount 金額
    """
    # 轉換金額跨度（間隔）： 元->角 
    span = 10
    amount = int(amount*span) 

    for i, v in enumerate(coupon):
        for j in range(len(v)):
            coupon[i][j] = int(coupon[i][j]*span)

    # 初始化結果數組，dps 存儲滿減值（背包算法結果） ，dps_coupons 存儲優惠券
    dps = []
    dps_coupons = []  
    for i in range(len(coupon)+1):
        dps.append(list((0,)*(amount+1)))
        # list 直接 * 生成的是同一list，用循環生成
        dps_coupons.append([])
        for j in range(amount+1):
            dps_coupons[i].append([])

    for i in range(1, len(coupon)+1):
        for j in range(1, amount+1):
            if j < coupon[i-1][0]:
                # 獲取上個策略值
                dps[i][j] = dps[i-1][j]
                dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j]
            else:
                if(dps[i-1][j] > dps[i-1][j-coupon[i-1][1]]+coupon[i-1][1]):
                    # 上一行同列數據 優於 當前優惠券+剩余的金額對應的上次數據，取之前數據
                    dps[i][j] = dps[i-1][j]
                    dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j]
                else:
                    # 選取當前+剩余 優於 上一行數據
                    dps[i][j] = dps[i-1][j-coupon[i-1][1]]+coupon[i-1][1]
                    dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j-coupon[i-1][1]].copy()
                    dps_coupons[i][j].insert(0, tuple(coupon[i-1]))
                    # print(f"{i} {j}, {tuple(coupon[i-1])} dps {i-1} {j-coupon[i-1][1]}:{dps_coupons[i-1][j-coupon[i-1][1]]} ")

    print('----------------------------------------------------')
    # 結果需返回數據原單位（元）
    result_coupons = dps_coupons[-1][-1].copy()
    for i, v in enumerate(result_coupons):
        result_coupons[i] = list(result_coupons[i])
        for j in range(len(v)):
            result_coupons[i][j] = result_coupons[i][j]/span
    print(f"使用優惠券：{result_coupons} 總減免：{dps[-1][-1]/span}")


# 優惠券
coupon_items = [
    [1, 1],
    [1, 0.1],
    [2, 1.9],
    [2, 0.1],
]
# 舉例中的優惠券是最終順序。確保優惠券已經排序過，多維升序(V升D降)，此處省略
# sorted_coupon(coupon)
coupon_bags(coupon_items, 3)
"""
coupon_items = [
    [1, 0.6],
    [2, 0.7],
    [2, 1.3],
    [3, 2.3],
]
coupon_bags(coupon_items, 5)
"""

輸出：使用優惠券：[[2.0, 0.1], [2.0, 1.9], [1.0, 1.0]] 總減免：3.0

還寫了PHP版本的，一並發上來吧。

<?php

/**
 * 背包算法，解決優惠券問題
 * @param array $coupon 優惠券數組
 * @param float $amount 金額
 */
function coupon_bags($coupon, $amount)
{

    # 轉換金額單位（跨度）：角
    $span = 10;
    $amount = intval($amount * $span);

    foreach ($coupon as $i => $v) {
        for ($j = 0; $j < count($v); $j++) {
            $coupon[$i][$j] = intval($coupon[$i][$j] * $span);
        }
    }

    # 結果，多數組
    $dps = [];
    $dps_coupons = [];
    for ($i = 0; $i <= count($coupon); $i++) {
        for ($j = 0; $j <= $amount; $j++) {
            $dps[$i][$j] = 0;
            $dps_coupons[$i][$j] = [];
        }
    }

    # 排序，多維升序(內降)
    # sort_coupon($coupon);

    for ($i = 1; $i <= count($coupon); $i++) {
        for ($j = 1; $j <= $amount; $j++) {
            if ($j < $coupon[$i - 1][0]) {
                # 獲取上個策略值
                $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j];
                $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j];
            } else {
                if ($dps[$i - 1][$j] > $dps[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]] + $coupon[$i - 1][1]) {
                    # 上一行同列數據 優於 當前優惠券+剩余的金額對應的上次數據，取之前數據
                    $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j];
                    $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j];
                } else {
                    # 選取當前+剩余 優於 上一行數據
                    $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]] + $coupon[$i - 1][1];
                    $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]];
                    $dps_coupons[$i][$j][] = $coupon[$i - 1];
                }
            }

        }

    }
    # 結果需返回數據原單位（元）
    $t = end($dps_coupons);
    $t2 = end($dps);
    $result_coupons = array_reverse(end($t));
    $result_dps = end($t2);

    foreach($result_coupons as &$v){
        foreach($v as &$v2){
            $v2 = $v2/$span;
        }
    }
    $result_dps/=$span;

    echo "\n使用優惠券：". print_r($result_coupons, true). "總減免：{$result_dps}.";

}

$coupon_items = [
    [1, 1],
    [1, 0.1],
    [2, 1.9],
    [2, 0.1],
];
coupon_bags($coupon_items, 3);

Java 版的代碼：（粗糙）

import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

class CouponTicket{
    List<int[]> cp = new LinkedList<int[]>();

    public CouponTicket copy(){
        CouponTicket r = new CouponTicket();
        for(int[] c : cp){
            r.cp.add(c);
        }
        return r;
    }

    public String toString(){
        StringBuilder s = new StringBuilder();
        for(int[] c: cp){
            s.append(Arrays.toString(c)).append(" - ");
        }
        return s.toString();
    }
}

/**
 * 背包算法，解決滿減優惠券疊加使用問題
 * 
 */
public class Coupon{
    public static void main(String[] args){
        double [][]coupon_items = {
            {1, 1},
            {1, 0.1},
            {2, 1.9},
            {2, 0.1},
        };
        Coupon.couponBags(coupon_items, 3);
    }

    public static void couponBags(double[][] coupon, double amount){
        // 轉換成int的金額精度
        int span = 10;
        int amountInt = (int)(amount*span);

        int couponInt[][] = new int[coupon.length][2];

        // 初始化結果數組，dps 存儲滿減值（背包算法結果） ，dps_coupons 存儲優惠券
        int[][] dps = new int[coupon.length+1][amountInt+1];
        CouponTicket[][] dps_coupons = new CouponTicket[coupon.length+1][amountInt+1];
        for(int i=0; i<coupon.length; i++){
            for(int j=0; j<coupon[i].length; j++){
                couponInt[i][j] = (int)(coupon[i][j]*span);
            }
        }

        // 計算
        for(int i=1; i<=coupon.length; i++){
            for(int j=1; j<=amountInt; j++){
                // System.out.printf("%d %d coupon[%d][0]=%s %b " ,i,j,i-1,couponInt[i-1][0], (j<couponInt[i-1][0]));
                if(j < couponInt[i-1][0]){
                    // 獲取上個策略值
                    dps[i][j] = dps[i-1][j];
                    dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j];
                }else{
                    if(dps[i-1][j] > dps[i-1][j-couponInt[i-1][1]]+couponInt[i-1][1]){
                        // 上一行同列數據 優於 當前優惠券+剩余的金額對應的上次數據，取之前數據
                        dps[i][j] = dps[i-1][j];
                        dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j];
                    }
                    else{
                        if(dps_coupons[i][j] == null){
                            dps_coupons[i][j] = new CouponTicket();
                        }

                        // 選取當前+剩余 優於 上一行數據
                        dps[i][j] = dps[i-1][j-couponInt[i-1][1]]+couponInt[i-1][1];

                        if(dps_coupons[i-1][j-couponInt[i-1][1]] != null){
                            dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j-couponInt[i-1][1]].copy();
                        }
                        dps_coupons[i][j].cp.add(couponInt[i-1]);
                        // System.out.printf("%s dps %d %s", Arrays.toString(couponInt[i-1]), j-couponInt[i-1][1],dps_coupons[i-1][j-couponInt[i-1][1]]);
                    }
                }
                // System.out.println();
            }
        }

        System.out.println("優惠券使用和總滿減金額如下：(優惠券未轉換原金額)"); 

        System.out.println(dps_coupons[coupon.length][amountInt]);
        System.out.println(dps[coupon.length][amountInt]/(double)span); 
    }
}

總結

算法思想很重要。多思考多動手多交流。如果發現了漏洞，請您不吝賜教。