機器學習中的度量——相關系數

      機器學習是時下流行AI技術中一個很重要的方向，無論是有監督學習還是無監督學習都使用各種“度量”來得到不同樣本數據的差異度或者不同樣本數據的相似度。良好的“度量”可以顯著提高算法的分類或預測的准確率，本文中將介紹機器學習中各種“度量”，“度量”主要由兩種，分別為距離、相似度和相關系數，距離的研究主體一般是線性空間中點；而相似度研究主體是線性空間中向量；相關系數研究主體主要是分布數據。本文主要介紹相關系數。

1 皮爾遜相關系數——常用的相關系數

      機在統計學中，皮爾遜相關系數（earson correlation coefficient）用於度量兩個變量X和Y之間的相關程度（線性相關），其值介於-1與1之間。在自然科學領域中，該系數廣泛用於度量兩個變量之間的線性相關程度。它是由卡爾·皮爾遜從弗朗西斯·高爾頓在19世紀80年代提出的一個相似卻又稍有不同的想法演變而來。
對於總體（由許多有某種共同性質的事物組成的集合），給定隨機變量(X, y)，總體皮爾遜相關系數的定義為

\[{\rho _{X,Y}}{\rm{ = }}\frac{{{\mathop{\rm cov}} \left( {X,Y} \right)}}{{{\sigma _X}{\sigma _Y}}}{\rm{ = }}\frac{{E\left( {\left( {X - {\mu _X}} \right)\left( {Y - {\mu _Y}} \right)} \right)}}{{{\sigma _X}{\sigma _Y}}} \]

      機其中cov(X,Y)是隨機變量X和隨機變量Y之間的協方差
      機σx是隨機變量X的方差
      機σy是隨機變量Y的方差
      機μx是隨機變量X的均值
      機μy是隨機變量Y的均值

      機對於同樣本來說，給定樣本對{(x1, y1), (x2,y2), …, (xn, yn)} ，樣本皮爾遜相關系數的定義為

\[{r_{x,y}}{\rm{ = }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \bar x} \right)\left( {{y_i} - \bar y} \right)} }}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} } \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2}} } }} = \frac{{n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} - \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} }}{{\sqrt {n\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)}^2}} \sqrt {n\sum\limits_{i = 1}^n {y_i^2} - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} } \right)}^2}} }} \]

      機其中n是樣本數量
      機Xi, yi是第i個獨立的樣本數據
      機x是所有xi的均值
      機y是所有yi的均值

圖1 具有不同相關系數值（ρ）的散點圖示例
圖2 幾組點集的相關系數

2 Phi相關系數——二元變量的相關性

      機在統計學里，“Phi相關系數”（Phi coefficient）（符號表示為φ）是測量兩個二元變數之間相關性的工具，由卡爾·皮爾森所發明 [1]。他也發明了與Phi相關系數有密切關聯的皮爾森卡方檢定（Pearson's chi-squared test。一般所稱的卡方檢驗），以及發明了測量兩個連續變數之間相關程度的皮爾森相關系數。Phi相關系數在機器學習的領域又稱為Matthews相關系數。

      機首先將兩個變數排成2×2列聯表，注意 1 和 0 的位置必須如同下表，若只變動 X 或只變動 Y 的 0/1 位置，計算出來的Phi相關系數會正負號相反。Phi相關系數的基本概念是：兩個二元變數的觀察值若大多落在2×2列聯表的“主對角線”字段，亦即若觀察值大多為(X,Y) =(1,1), (0,0)這兩種組合，則這兩個變數呈正相關。反之，若兩個二元變數的觀察值大多落在“非對角線”字段，對應於2×2列聯表，亦即若觀察值大多為(X,Y) =(0,1), (1,0)這兩種組

	Y=1	Y=0	總計
X=1	n11	n10	a1
X=2	n01	n00	a2
總計	b1	b2	n

      機其中 n11, n10, n01, n00都是非負數的字段計次值，它們加總為n ，亦即觀察值的個數。由上面的表格可以得出 X 和 Y 的 Phi相關系數如下：

      機一個簡單的實例：研究者欲觀察性別與慣用手的相關性。虛無假設是：性別與慣用手無相關性。觀察對象是隨機抽樣出來的個人，身上有兩個二元變數（性別 X ，慣用手 Y），X 有兩種結果值（男=1／女=0），Y也有兩種結果值（右撇子=1／左撇子=0）。觀察兩個二元變數的相關性可以使用Phi相關系數。假設簡單隨機抽樣100人，得出如下的2×2列聯表：

	男=1	女=0	總計
右=1	43	44	87
左=2	7	6	13
總計	50	50	100

      機假設−0.0297相關系數檢定為顯著，在本例對變數 1/0 的指定下，代表身為男性與身為右撇子有輕微的負相關，也就是男性右撇子的比例略低於女性右撇子的比例；或者反過來說，男性左撇子的比例略高於女性左撇子的比例。