分束器的經典描述
光學中分束器 (beam splitter) 如圖所示.
輸入電場和輸出電場以\(\alpha_i,\beta_j\)標記。只考慮單輸入\(\alpha_1\)，則輸出可以寫為
\[\beta_1=\sqrt{1-R}\alpha_1\text{e}^{i\phi_{1,T}} \]
\[\beta_2=\sqrt{R}\alpha_1\text{e}^{i\phi_{1,R}} \]
其中\(R\)是能量反射系數，於是能量守恆：\(|\alpha_1|^2=|\beta_1|^2+|\beta_2|^2\).
現在考慮兩路輸入，於是輸入輸出可以整合為一個矩陣關系
\[\begin{pmatrix} \beta_1\\\beta_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sqrt{1-R}\text{e}^{i\phi_{1,T}}&\sqrt{R}\text{e}^{i\phi_{2,R}}\\ \sqrt{R}\text{e}^{i\phi_{1,R}}&\sqrt{1-R}\text{e}^{i\phi_{2,T}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1\\\alpha_2 \end{pmatrix} \]
能量守恆要求\(|\alpha_1|^2+|\alpha_2|^2=|\beta_1|^2+|\beta_2|^2\)，就是要求
\[\text{e}^{i(\phi_{2,R}-\phi_{1,T})}+\text{e}^{\phi_{2,T}-\phi_{1,R}}=0 \]
只要不違背上面方程，四個相位可以隨意選取。如果選擇\(\phi_{2,t}=\pi\)而其他三個相位為零，則變換矩陣為
\[\begin{pmatrix} \sqrt{1-R}&\sqrt{R}\\\sqrt{R}&-\sqrt{1-R} \end{pmatrix} \]
如果選取\(\phi_{1,R}=\phi_{2,R}=\pi/2\)，其他兩個相位為零，則變換矩陣為
\[\begin{pmatrix} \sqrt{1-R}&i\sqrt{R}\\i\sqrt{R}&\sqrt{1-R} \end{pmatrix} \]
對50：50分束器有\(R=1/2\).
分束器的量子力學描述
輸入輸出的關系是線性的，可以寫為
\[\begin{pmatrix} \hat{b}_1\\\hat{b}_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} t'&r\\r'&t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\\hat{a}_2 \end{pmatrix} \]
展開上式就知道命名為\(t,r\)的意義：分別代表透射和反射。
如果要求新的 \(\hat{b}_i^{(\dagger)}\) 滿足玻色子對易關系，則可推得變換矩陣必須是幺正矩陣，即必須滿足
\[\left\{ \begin{aligned} &|t'|^2+|r|^2=1\\ &|r'|^2+|t|^2=1\\ &t'r'^*+rt^*=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &|r'|=|r|\\ &|t'|=|t|\\ &|r|^2+|t|^2=1\\ &r^*t'+r't^*=0\\ &r^*t+r't'^*=0 \end{aligned} \right. \]
上面第二個式子是第一個式子的改寫。對於50：50分束器，有\(|r|=|t|\)，可以選擇寫為
\[\begin{pmatrix} \hat{b}_1\\\hat{b}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1&i\\i&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\\hat{a}_2 \end{pmatrix} \]
該關系還可以寫為
\[\begin{pmatrix} \hat{b}_1\\\hat{b}_2 \end{pmatrix}=\hat{U} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\\hat{a}_2 \end{pmatrix}\hat{U}^\dagger \]
其中的
\[\hat{U}=\exp[-i\frac{\pi}{4}(\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2+\hat{a}_1\hat{a}_2^\dagger)] \]
通過使用Baker-Hausdoff公式展開，可驗證之。
現在主要問題是：入射態為\(|\psi\rangle_{a1}|\phi\rangle_{a2}\)，求經過分束器后\(\hat{b}_1\)端口的某可觀測算符的期望。有兩個辦法可以計算。
第一個辦法是把\(\hat{b}_1\)端口的算符通過輸入輸出算符之間的變換關系，展開到\(a\)這邊來，然后在入射態\(|\psi\rangle_{a1}|\phi\rangle_{a2}\)下求期望即可。
第二個辦法是，我們有了場算符的變換關系，先寫 (這里寫的是直積態，但顯然不局限於直積態)
\[|\psi\rangle_{a1}|\phi\rangle_{a2}=f_{a1}(\hat{a}_1^\dagger)f_{a2}(\hat{a}_2^\dagger)|0,0\rangle \]
經過分束器變換后，代入上面的變換關系，場算符從\(a\)換成了\(b\)，於是入射態可以寫為
\[|\psi'\rangle_{b1}|\phi'\rangle_{b2}=f_{a1}(\hat{b}_1^\dagger,\hat{b}_2^\dagger)f_{a2}(\hat{b}_1^\dagger,\hat{b}_2^\dagger)|0,0\rangle \]
從而端口\(\hat{b}_1\)的可觀測量\(\hat{g}(\hat{b}_1,\hat{b}_1^\dagger)\)的期望可以寫為
\[\langle\hat{g}\rangle=\langle0,0|f^\dagger_{a2}(\hat{b}_1^\dagger,\hat{b}_2^\dagger)f^\dagger_{a1}(\hat{b}_1^\dagger,\hat{b}_2^\dagger)\hat{g}(\hat{b}_1,\hat{b}_1^\dagger)f_{a1}(\hat{b}_1^\dagger,\hat{b}_2^\dagger)f_{a2}(\hat{b}_1^\dagger,\hat{b}_2^\dagger)|0,0\rangle \]
注意在第二個辦法中，我們認為真空態就是真空態，在\(a\)這邊和在\(b\)這邊都是同一個真空態。
利用變換關系的算符形式\(\hat{b}_i=\hat{U}^\dagger\hat{a}_i\hat{U}\)，對\(|\psi\rangle_{a1}|\phi\rangle_{a2}=f_{a1}(\hat{a}_1^\dagger)f_{a2}(\hat{a}_2^\dagger)|0,0\rangle\)兩邊從左邊乘以\(\hat{U}^\dagger\)，並在\(|0,0\rangle\)前面插入一個\(\hat{U}\hat{U^\dagger}\)，利用\(\hat{U}^\dagger|0,0\rangle=|0,0\rangle\)並對比\(|\psi'\rangle_{b1}|\phi'\rangle_{b2}=f_{a1}(\hat{b}_1^\dagger,\hat{b}_2^\dagger)f_{a2}(\hat{b}_1^\dagger,\hat{b}_2^\dagger)|0,0\rangle\)的右端可得
\[\hat{U}^\dagger|\psi\rangle_{a1}|\phi\rangle_{a2}=|\psi'\rangle_{b1}|\phi'\rangle_{b2} \]
即入射態在\(a\)這邊到\(b\)這邊的表達式，可以通過\(\hat{U}^\dagger\)來轉換。於是，從入射端到出射端，我們可以選擇變場算符而態不變，也可以選擇變態而場算符不變。這完全類似於海森伯繪景和薛定諤繪景的對比。
分束器描述和角動量算符的關系
上面已經給出，對於一個50：50分束器，其場算符之間的變換可以選為
\[\begin{pmatrix} \hat{b}_1\\\hat{b}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1&i\\i&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\\hat{a}_2 \end{pmatrix} \]
而該選擇對應的變換算符為
\[\hat{U}=\exp[-i\frac{\pi}{4}(\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2+\hat{a}_1\hat{a}_2^\dagger)] \]
現在關注的問題是：一般分束器的場算符之間的一般變換關系(矩陣形式)和變換算符\(\hat{U}\)之間有着怎樣的普遍對應關系。
習慣把變換矩陣寫為
\[\begin{pmatrix} \hat{b}_1\\\hat{b}_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\\hat{a}_2 \end{pmatrix} \]
而幺正性要求為
\[\left\{ \begin{aligned} &|B_{11}|^2+|B_{12}|^2=1\\ &|B_{21}|^2+|B_{22}|^2=1\\ &B_{11}B_{21}^*+B_{12}B_{22}^*=0 \end{aligned} \right. \]
對上面最后一個式子兩邊取模得到\(|B_{11}||B_{21}|=|B_{12}||B_{22}|\)，於是\(|B_{11}|^2=|B_{22}|^2\), \(|B_{12}|^2=|B_{21}|^2\). 於是可以等價地改寫為
\[\begin{aligned} |B_{11}|^2=|B_{22}|^2=T=\cos^2\theta\\ |B_{12}|^2=|B_{21}|^2=R=\sin^2\theta \end{aligned} \]
其中參量\(0\leqslant\theta\leqslant\pi/2\). 對幺正性條件的最后一式取輻角，可得\(\phi_{11}-\phi_{12}=\phi_{21}-\phi_{22}\pm\pi\)，於是定義新的三個角為
\[\begin{aligned} \phi_T&=\frac{1}{2}(\phi_{11}-\phi_{22})\\ \phi_R&=\frac{1}{2}(\phi_{12}-\phi_{21}\mp\pi)\\ \phi_0&=\phi_{11}+\phi_{22} \end{aligned} \]
經過參量\(\theta\)和三個新角度的改寫，變換矩陣\(B\)為
\[B=\text{e}^{i\phi_0}\begin{pmatrix} \cos\theta\text{e}^{i\phi_T}&\sin\theta\text{e}^{i\phi_R}\\ -\sin\theta\text{e}^{-i\phi_R}&\cos\theta\text{e}^{-i\phi_T} \end{pmatrix} \]
考慮到物理意義，\(\phi_0\)是一個全局相位，可以設為零，而\(\phi_T\)和\(\phi_R\)就是透射路和反射路的附加相移。例如，如果附加相移都為零，則
\[B=\begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix} \]
現在引入Schwinger關系
\[\begin{aligned} \hat{L}_1&=\frac{1}{2}(\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2+\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_1)\\ \hat{L}_2&=\frac{1}{2i}(\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_2-\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_1)\\ \hat{L}_3&=\frac{1}{2}(\hat{a}_1^\dagger\hat{a}_1-\hat{a}_2^\dagger\hat{a}_2)\\ \end{aligned} \]
於是可以驗證它們滿足角動量對易關系\([\hat{L}_i,\hat{L}_j]=i\epsilon_{ijk}\hat{L}_k\)，只不過相較通常的角動量算符，這里重新歸一化到了\(\hbar\)而已。所以通過Schwinger關系，兩個玻色子模式的產生消滅算符可以和一組角動量算符相互聯系。現在考察該組角動量算符經受旋轉變換(SO(3)群)，即\(\hat{L}_j'=\hat{B}(\Phi,\Theta,\Psi)\hat{L}_j\hat{B}^\dagger(\Phi,\Theta,\Psi)\). (注意區分矩陣\(B\)和算符\(\hat{B}\)) 對於新的加了一撇的角動量算符，仍然有兩個模式的產生湮滅算符\(\hat{b}_1^{(\dagger)},\hat{b}^{(\dagger)}_2\)與之有Schwinger關系，並且反解可得
\[\hat{b}_i=\hat{B}(\Phi,\Theta,\Psi)\hat{a}_i\hat{B}^\dagger(\Phi,\Theta,\Psi) \]
按照群論的慣常用法，算符\(\hat{B}(\Phi,\Theta,\Psi)\)可以寫為 (即，先繞老\(z\)軸\(\Psi\)角，再繞新\(y\)軸\(\Theta\)角，最后繞新\(z\)軸\(\Phi\)角可以繞到任何空間取向)
\[\hat{B}(\Phi,\Theta,\Psi)=\text{e}^{-i\Phi\hat{L}_3}\text{e}^{-i\Theta\hat{L}_2}\text{e}^{-i\Psi\hat{L}_3} \]
為了得到\(\hat{B}\)作用在\(\hat{a}_i\)兩邊后的結果，我們首先看\(\hat{B}\)作用到角動量算符上的結果，再根據Schwinger關系反推。而\(\hat{B}\)作用到角動量算符上的結果為
\[\text{e}^{-i\Theta\hat{L}_2}\begin{pmatrix} \hat{L}_1\\ \hat{L}_2\\ \hat{L}_3 \end{pmatrix}\text{e}^{i\Theta\hat{L_2}}= \begin{pmatrix} \cos\Theta&0&-\sin\Theta\\ 0&1&0\\ \sin\Theta&0&\cos\Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{L}_1\\ \hat{L}_2\\ \hat{L}_3 \end{pmatrix} \]
\[\text{e}^{-i\Phi\hat{L}_3}\begin{pmatrix}\hat{L}_1\\ \hat{L}_2\\ \hat{L}_3\end{pmatrix}\text{e}^{i\Phi\hat{L}_3}=\begin{pmatrix}\cos\Phi&\sin\Phi&0\\-\sin\Phi&\cos\Phi&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat{L}_1\\ \hat{L}_2\\ \hat{L}_3\end{pmatrix} \]
上面兩個式子可以直接如下得到。首先已知SO(3)群元對空間三維矢量的變換矩陣，但是這里是對算符的變換。對角動量算符沿\(z\)軸轉\(\alpha\)角，可以理解為對研究的三維矢量沿\(z\)轉動\(-\alpha\)角。於是通常的SO(3)群的變換矩陣，對所有角度加負號，就是這里對角動量算符的變換矩陣。這里，把\(3\times3\)的代表\(\hat{B}(\Phi,\Theta,\Psi)\)作用效果的矩陣記為\(A(\Phi,\Theta,\Psi)\).
根據上式，以及Schwinger關系，可以反推出
\[\text{e}^{-i\Theta\hat{L}_2} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\ \hat{a}_2 \end{pmatrix} \text{e}^{i\Theta\hat{L_2}}= \begin{pmatrix} \cos\Theta&\sin\Theta\\ -\sin\Theta&\cos\Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\ \hat{a}_2 \end{pmatrix} \]
\[\text{e}^{-i\Phi\hat{L}_3} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\ \hat{a}_2 \end{pmatrix} \text{e}^{i\Phi\hat{L}_3}= \begin{pmatrix} \text{e}^{i\Phi/2}&0\\ 0&\text{e}^{-i\Phi/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{a}_1\\ \hat{a}_2 \end{pmatrix} \]
從而矩陣\(B\)為
\[\begin{aligned} B(\Phi,\Theta,\Psi)&= \begin{pmatrix} \text{e}^{i\Psi/2}&0\\ 0&\text{e}^{-i\Psi/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\Theta&\sin\Theta\\ -\sin\Theta&\cos\Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{e}^{i\Phi/2}&0\\ 0&\text{e}^{-i\Phi/2} \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} \cos\Theta\text{e}^{i(\Psi+\Phi)/2}&\sin\Theta\text{e}^{i(\Psi-\Phi)/2}\\ -\sin\Theta\text{e}^{-i(\Psi-\Phi)/2}&\cos\Theta\text{e}^{-i(\Psi+\Phi)/2} \end{pmatrix} \end{aligned} \]
注意上式最后的矩陣就是和\(A(\Phi,\Theta,\Psi)\)同態的\(\text{SU(2)}\)的群元，它可以代表任意的\(2\times2\)的幺正矩陣。
於是現在我們手里有了\(B\)矩陣的兩種形式，一種是開頭得到的使用參量\(\theta\)和兩個角度表達形式(本來是三個角度，但\(\phi_0\)全局相位可剔除，從而行列式就為1，從而由\(\text{U}(2)\)變為\(\text{SU(2)}\))，另一種是這里的\(\text{SU(2)}\)的一般形式。這兩種形式都含三個參數，參數之間的對應關系為
\[\begin{aligned} \theta&=\frac{1}{2}\Theta\\ \phi_T&=\frac{1}{2}(\Psi+\Phi)\\ \phi_R&=\frac{1}{2}(\Psi-\Phi) \end{aligned} \]
Reference:
[1]. Introductory Quantum Optics. Gerry and Knight (2004).
[2]. Phys. Rev. A, 40, 1371 (1989).
