加密算法分為對稱加密算法和非對稱加密算法，其中非對稱加密算法作為計算機通信安全的基石，在保證數據安全方面起着重要的作用。而相對於對稱加密算法的易理解性，非對稱加密算法存在一定的難度。下面通過對RSA算法的剖析，讓我們更好的理解非對稱加密算法的原理。
一、對稱加密算法和非對稱加密算法
1、對稱加密算法
對稱加密算法：加密和解密都使用同樣規則（密鑰）的算法。
(1)、A選擇某一種規則對信息進行加密；
(2)、B使用同一規則(逆規則)對信息進行解密；
2、非對稱加密算法
非對稱加密算法：加密和解密可以使用不同的規則，只要這兩種規則之間存在某種對應關系即可。
(1)、B根據算法生成兩把密鑰（公鑰和私鑰），其中私鑰是保密的，公鑰是公開的，供要與B通信的其它人使用；
(2)、A從B處獲取公鑰，並用它來加密；
(3)、B得到A加密后的信息，用私鑰進行解密，完成通信；
二、RSA算法的數學基礎
1、互質關系
互質又稱為互素，如果兩個或兩個以上的整數的最大公約數是 1，則稱它們為互質。比如7和10，他們最大的公約數是1，所以他們互質。8和10最大的公約數是2，所以他們不是互質。並不是只有兩個質數才能形成互質。
根據互質關系，可以得出以下結論（后面歐拉函數會用到）：
- 兩個不同的質數一定互質。例如，2與7、13與19。
- 一個質數，另一個不為它的倍數，這兩個數互質。例如，3與10、5與 26。
- 1和任何一個自然數都互質。如1和9908。
- 2的冪和任何一個奇數都互質。如32和75、256與315。
- 相鄰兩個自然數互質。如15與16。
- 相鄰兩個奇數互質。如49與51。
2、歐拉函數
歐拉函數指的是對正整數n，求小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目，記作φ(n)。比如1至10中，與10形成互質關系的有1，3，7，9，所以φ(10)=4。
歐拉函數通用公式為（除n=1外，φ(1)=1）：
比如φ(20)=8計算過程如下：
歐拉函數證明如下：
- 當n=1時，φ(1) = 1
因為1與任何數都構成互質關系，則 φ(1) = 1 。
- 當n是質數，φ(n) =n-1
因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關系，則φ(n) =n-1。如φ(5)=5-1=4。
- 當n是質數的某個次方，公式如下，其中p為質數，k為大於1的整數
\[φ(p^k) =p^k(1-\frac{1}{p}) \]
因為質數的某個次方與除與質數的倍數外都形成互質關系，而質數的倍數1 * p、2 * p、3 * p、……、p^(k-1) * p，即有p^(k-1)個，則
- 當n可以分解成兩個互質的整數之積，
\[φ({p_1}\times{p_2})= φ(p_1)φ(p_2) \]
該定理用到中國剩余定理即可證明，具體過程可參考其它文檔。如φ(15)=φ(3 * 5)=φ(3) φ(5) =2 * 4 =8。
根據以上推論，因為任意一個大於1的正整數，都可以寫成一系列質數的積，可以推導出當n為大於1的整數時：
以上即為歐拉函數的通用計算公式。
3、歐拉定理
歐拉定理也稱費馬-歐拉定理，指的是：如果兩個正整數a和n互質，則n的歐拉函數 φ(n) 可以讓下面的等式成立。
即a的φ(n)次方被n除的余數為1，或者說a的φ(n)次方減1，能被n整除。如7和5互質
4、模反元素
如果兩個正整數a和n互質，那么一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的余數是1。這時，b就叫做a的模反元素。證明如下：
三、RSA算法過程
1、生成密鑰對（公鑰和私鑰）
-
隨機找兩個質數a和b（a和b越大越安全），並計算他們的乘積n
比如 a = 5 ，b = 11。計算他們的乘積 n = 5 * 11 = 55 ，轉化為二進為 110111，該加密算法即為 6 位。本例子中是為了計算方便，所以取的數比較小，實際算法是 1024 位 或 2048 位，位數越長，算法越難被破解。
-
計算n的歐拉函數m = φ(n)
根據公式m = φ(55) = φ(5)φ(11) = (5-1)(11-1) = 40
-
隨機選擇一個整數e，條件是1<e<m，且e與m互質
我們隨機選擇e=17
-
計算e對於φ(n)（即m）的模反元素d
即找一個整數 d，使得 (e * d ) % m = 1。 等價於 e * d - 1 = y * m ( y 為整數） 找到 d ，實質就是對下面二元一次方程求解。 e * x - m * y = 1 。其中 e = 17，m = 40，17x - 40y = 1 這個方程可以用"擴展歐幾里得算法"求解。具體求解過程略，算出一組整數解（x，y ）= （33，14），即 d=33。 到此密鑰對生成完畢。不同的e生成不同的d，因此可以生成多個密鑰對。
本例中公鑰為（n，e) = (55 , 17)，私鑰為（n，d) = (55 ，33) ，僅（n，e) =(55 , 17)是公開的，其余數字均不公開。可以想像如果只有 n 和 e，如何推導出 d，目前只能靠暴力破解，位數越長，暴力破解的時間越長。
2、加密生成密文
對明文z采用公鑰（n，e)進行加密，其中明文必須轉換為數字，且必須比n小。加密的公式如下：
其中z為明文，n和e為公鑰，c為加密后的密文，所以c可以轉換為：
假如明文為15，公鑰（n，e) = (55 , 17)，則加密后的密文c為：
3、解密生成明文
對密文c采用公鑰（n，d)進行解密，解密的公示如下：
其中c為密文，n和d為私鑰，z為解密后的明文，所以z可以轉換為：
根據上述條件，密文c為5，私鑰（n，d) = (55 ，33) ，則解密后的明文z為：
四、RSA算法有效性證明
1、有效性問題
根據上述RSA算法示例，要驗證RSA算法的有效性，即驗證根據加密公式：
可以推導出，解密公式是有效的：
2、證明過程
根據加密規則，可以推導出：
將上述式子代入解密公式，即求證以下式子成立：
-
當z與n互質時
根據歐拉定理
\[z^{φ(n)} = 1(mod\ n) \]則可以推出
\[z\times {(z^{φ(n)})}^p=z(mod\ n) \]\[z^{1+pφ(n)}=z(mod\ n) \]由於
\[ed = 1(mod\ φ(n)) \]\[ed = 1+pφ(n) \]所以可以推導出
\[z^{ed} = z(mod\ n) \] -
當z與n不為互質時
因為n=a*b，其中a和b都為質數。因為z和n不為互質，則z和n必定有一個公約數，由於n為兩個質數a和b的乘積，則z一定為a或b的倍數，記作ka或者kb。
假定z=ka(a=kb同理)。由於b為質數，如果k為b的倍數，即k=hb，則z=hab，其中h為正整數，則推導出z大於n，但是根據條件被加密的明文必須小於n，所以可以推導出k不是b的倍數，由於b為質數，所以可以推斷出k和b互質，同理，推導出ka與b互質，即z與b互質。
根據歐拉定理，可知下列式子成立：
\[z^{φ(b)}≡1(mod\ b) \]可推導出：
\[z^{φ(b)}=(ka)^{φ(b)}=(ka)^{b-1}≡1(mod\ b) \]對於一個數求余結果為1，那么它的n次方，求余也為1。根據這個定理，可推導出：
\[{[(ka)^{b-1}]}^{h(a-1)}≡1(mod\ b) \]\[{[(ka)^{b-1}]}^{h(a-1)}\times ka≡ka(mod\ b) \]\[{(ka)}^{ed}≡ka(mod\ b) \]\[{(ka)}^{ed}=ka+ob \]由於兩名等式成立，且a與b互質，可以推導出o一定為a的倍數，即0=ja，可推導出：
\[{(ka)}^{ed}=ka+ob=ka+jab \]因為z=ka，n=ab，所以可以退出：
\[z^{ed}≡z(mon\ n) \]
五、RSA算法的安全性
RSA算法的安全性，是基於目前的條件下，在空間和時間上，無法對它進行有效破解。
根據上述推導，RSA算法用到a、b、n、m、e、d六個數字。其中公鑰(n，e)是公開的，其余的4個數字是保密的。其中密鑰d是算法的核心。
- e*d ≡ 1 (mod m)。其中e是公開的，那就需要知道m，才能算出d。
- 根據公式φ(n)=(a-1)(b-1)=m，要計算出m，必須知道a和b。
- n=ab。只有將n因數分解，才能算出a和b。
目前對於大數的因數分解，除了暴力破解，沒有更好的途徑。以現有的計算資源和能力，目前能被破解的最長RSA密鑰就是768位，所以只要保證RSA密鑰是1024位及以上，即可保證算法的安全性。
六、總結
1、RSA算法流程
2、RSA算法安全性
目前對於大數的因數分解，除了暴力破解，沒有更好的途徑。以現有的計算資源和能力，目前能被破解的最長RSA密鑰就是768位，所以只要保證RSA密鑰是1024位及以上，即可保證算法的安全性。
3、RSA算法應用
在RSA算法中，公鑰(n,e) 只能加密小於n的整數。對於大於n的整數，可以采用兩種方法。一是把長信息分割成若干段短消息，每段分別加密；另一種是先選擇一種對稱性加密算法加密信息，再用RSA公鑰加密對稱性加密算法的密鑰。
另外，由於RSA算法性能問題，通常加解密都比較慢，所以通常和對稱性加密算法一起配合使用。