第一部分：RSA算法原理與加密解密
一、RSA加密過程簡述
A和B進行加密通信時,B首先要生成一對密鑰。一個是公鑰，給A，B自己持有私鑰。A使用B的公鑰加密要加密發送的內容，然后B在通過自己的私鑰解密內容。
二、RSA加密算法基礎
整個RSA加密算法的安全性基於大數不能分解質因數。
三、數學原理
(一) 互質關系：兩個數a和b沒有除1外的其他公約數，則a與b互質
1. 任意兩個質數構成互質關系
2. 兩個數中，如果大數為質數，則兩數必定互質
3. 1和任意整數互質
4. 當p>1時，p與p-1互質(相鄰兩數互質)
5. 當p=2n+1(n>0且n為整數)時，p與p+2互質(相連的兩個奇數互質)
(二) 求歐拉函數：
定義：與正整數n互質且小於正整數n的正整數的個數。通常使用ψ(n)表示。
求取與正整數n互質的正整數的個數ψ(n),且ψ(n)滿足ψ(n)∈(2,n)
1. 如果n=1,則ψ(n)=1
2. 如果n是質數,則ψ(n)=n-1
3. 如果n是質數p的次方,則：ψ(p^k)=p^k-p^(k-1) = p^k*(1-1/p)
4. 若p1和p2互質,n=p1*p2,則ψ(n)= ψ(p1*p2)= ψ(p1) ψ(p2)
5. 任意一個大於1的正整數都可以寫成一系列質數的積
6. 根據定理5，推導歐拉定理：
因為
n = (p1^k1)* (p2^k2)*……(pr^kr) (p1~pr都是質數)
所以
ψ(n)= ψ((p1^k1)) ψ(p2^k2) ……ψ(pr^kr) 定理4
ψ(n)= (p1^k1)*(1-1/p1) * (p2^k2)(1-1/p2)……(pr^kr)*(1-1/pr) 定理3
ψ(n)= (p1^k1)* (p2^k2)*……(pr^kr) * (1-1/p1) (1-1/p2)…… (1-1/pr)
ψ(n)=n (1-1/p1) (1-1/p2)…… (1-1/pr)
(三) 歐拉定理：
正整數a與n互質，則下式恆成立
a^ψ(n) ≡1(mod n)
即：
a的ψ(n)次冪除以n,余數恆為1
(四) 模反元素
如果兩個正整數a和n互質,則必定存在整數b使得a*b-1被n除余數為1
ab ≡1(mod n)
其中b被稱為a的模反元素
四、RSA算法詳解：假設A和B要通信
(一) 生成密鑰
1. 公鑰
1) 隨機生成兩個不相等的質數p和q(質數越大越安全)
2) 計算n,n=p*q 則n的二進制位數就是密鑰的長度。
3) 計算n的歐拉函數ψ(n)
因為
n=p*q
所以
ψ(n) =ψ(p)* ψ(q) 定理4
又p和q為質數
所以
ψ(p)=p-1 定理2
ψ(q)=q-1 定理2
所以
ψ(n) = (p-1)(q-1)
4) 獲取隨機正整數e,e滿足 e∈(1, ψ(n))且e與ψ(n)互質(通常選擇65537)
將n和e封裝成公鑰
2. 私鑰
1) 計算e對於ψ(n)的模反元素d
e*d=1(modψ(n));
設正整數k, e*d = kψ(n)+1;
則ed-kψ(n)=1
d = (kψ(n)+1) / e;
對於不定方程ax+by=c，設gcd(a,b)=d，如果ax+by=c有解，則d|c----->也就是說如果ed-kψ(n)=1 有解,則gcd(d,-k)能夠整除1,而1顯然可以被任何整數整除,所以該二元一次方程必定有解(d,k)
(歐幾里得定理和擴展歐幾里得定理計算二元一次方程)
2) 將n和d封裝成私鑰
五、RSA算法可靠性論證
從上文可以統計出整個算法涉及到的量有6個，其中三個為由私鑰持有者生成，三個是私鑰持有者推導出來的
生成量：p,q,e
推導量：n, ψ(n),d
密鑰中只有公鑰被發布,所有人都可以獲取。而公鑰由n和e封裝起來,因此,如果要破解一份RSA加密過的密文,我們必須使用私鑰(私鑰由n和d封裝而成)
n可以從公鑰獲取。
(假設mc為明文，c為密文，則公鑰由n和e封裝則意味着求取密文的運算中，n，e和mc是已知數，只有c是未知數；私鑰由n和d封裝，同上，解密密文的運算中，n，d和c是已知的，只有mc是未知數。)
因此,破解私鑰的關鍵就是破解e對於ψ(n)的模反元素d。
其數學關系是： e*d=1(modψ(n));
因此需需要先求出ψ(n),而求出ψ(n)需要知道ψ(p)和ψ(q)(因為ψ(n)= ψ(p* ψ(q))
而p和q只能通過分解n的質因數獲得。所以,整個RSA算法都基於n這個大數不能分解質因數這個基礎上。
因此，只要n夠大，私鑰就不會被破解
六、加解密過程：假設明文是m,c是密文
(一) 加密：使用公鑰(n,e)
先將其換算成asc碼或者unicode等其他數值。且m必須小於n
則加密算法是
m^e=c(mod n)
推出
m^e / n = k ……c這里c就是密文，k我們不關心
(二) 解密：使用私鑰(n,d)
1. 簡單的說解密就是通過下式求m。(一定可以求解出m)
c^d = m(mod n)
推出
c^d / n = k … … m m就是明文編碼，不關心k
查表得出明文
第二部分：RSA算法簽名與驗簽
假設A要想B發送消息，A會先計算出消息的消息摘要，然后使用自己的私鑰加密這段摘要加密，最后將加密后的消息摘要和消息一起發送給B，被加密的消息摘要就是“簽名”。
B收到消息后，也會使用和A相同的方法提取消息摘要，然后使用A的公鑰解密A發送的來簽名，並與自己計算出來的消息摘要進行比較。如果相同則說明消息是A發送給B的，同時，A也無法否認自己發送消息給B的事實。
其中，A用自己的私鑰給消息摘要加密成為“簽名”；B使用A的公鑰解密簽名文件的過程，就叫做“驗簽”。
數字簽名的作用是保證數據完整性，機密性和發送方角色的不可抵賴性
下面是對簽名和驗簽過程的簡要描述：
l 簽名過程：
1. A計算消息m的消息摘要,記為 h(m)
2. A使用私鑰(n,d)對h(m)加密，生成簽名s ,s滿足：
s=(h(m))^d mod n;
由於A是用自己的私鑰對消息摘要加密，所以只用使用s的公鑰才能解密該消息摘要，這樣A就不可否認自己發送了該消息給B。
3. A發送消息和簽名(m,s)給B。
l 驗簽過程：
1. B計算消息m的消息摘要,記為h(m);
2. B使用A的公鑰(n,e)解密s,得到
H(m) = s^e mod n;
3. B比較H(m)與h(m),相同則證明
第三部分：總結
下面簡單總結加密和解密的完整過程。
l 簽名過程：
1. A提取消息m的消息摘要h(m),並使用自己的私鑰對摘要h(m)進行加密,生成簽名s
2. A將簽名s和消息m一起,使用B的公鑰進行加密,生成密文c,發送給B。
l 驗證過程：
1. B接收到密文c,使用自己的私鑰解密c得到明文m和數字簽名s
2. B使用A的公鑰解密數字簽名s解密得到H(m).
3. B使用相同的方法提取消息m的消息摘要h(m)
4. B比較兩個消息摘要。相同則驗證成功;不同則驗證失敗。
package com.joe.main; import java.io.*; import java.math.BigInteger; import java.util.ArrayList; /** * @Description Demo說明： * 1、按照加密解密和簽名驗簽的邏輯,編寫簡單的demo,不涉及java中繼承的RSA相關類和Sigesture簽名類 * 2、只能對數字和字母進行加密, 不涉及編碼和解碼問題 。 3、不做數字簽名和驗證了,涉及到提取信息摘要。 */ public class EnAndDe { private long p = 0; private long q = 0; private long n = 0; private long t = 0; // 歐拉函數 private long e = 0; // 公匙 private long d = 0; // 密匙 private String mc; // 明文 private long c = 0; // 密文 private long word = 0; // 解密后明文 // 判斷是一個數 x 否為素數素數就是判斷在 (2,√x)范圍內有沒有除1外的因數,如果沒有則x數素數 public boolean isPrime(long t) { long k = 0; k = (long) Math.sqrt((double) t); for (int i = 2; i <= k; i++) { if ((t % i) == 0) { return false; } } return true; } // 隨機產生大素數(1e6數量級，注意，太大了要超出范圍) public void bigprimeRandom() { do { p = (long) (Math.random() * 1000000); } while (!this.isPrime(p)); do { q = (long) (Math.random() * 1000000); } while (p == q || !this.isPrime(q)); } // 輸入PQ public void inputPQ() throws Exception { this.bigprimeRandom(); System.out.println("自動生成兩個大素數p,q分別為:" + this.p + " " + this.q); this.n = (long) p * q; this.t = (long) (p - 1) * (q - 1); System.out.println("這兩個素數的乘積為p*q：" + this.n); System.out.println("所得的t=(p-1)(q-1)：" + this.t); } // 求最大公約數 public long gcd(long a, long b) { long gcd; if (b == 0) gcd = a; else gcd = gcd(b, a % b); return gcd; } // 生成公匙 public void getPublic_key() throws Exception { do { this.e = (long) (Math.random() * 100000); // e滿足 e∈(1, ψ(n))且e與ψ(n)最大公約數為1,即 e與t互質 } while ((this.e >= this.t) || (this.gcd(this.t, this.e) != 1)); System.out.println("生成的公鑰為：" + "(" + this.n + "," + this.e + ")"); } // 生成私鑰 e*d=1(modψ(n))==> d = (kψ(n)+1) / e public void getPrivate_key() { long value = 1; // value 是e和d的乘積 outer: for (long k = 1;; k++) { value = k * this.t + 1; if ((value % this.e == 0)) { this.d = value / this.e; break outer; } } System.out.println("產生的一個私鑰為：" + "(" + this.n + "," + this.d + ")"); } // 輸入明文 public void getText() throws Exception { System.out.println("請輸入明文："); BufferedReader stdin = new BufferedReader(new InputStreamReader( System.in)); mc = stdin.readLine(); } // 解密密文 public void pascolum() throws Exception { this.getText(); System.out.println("輸入明文為: " + this.mc); // 加密 ArrayList cestr = new ArrayList(); for (int i = 0; i < mc.length(); i++) { this.c = this.colum((long) mc.charAt(i), this.n, this.e); cestr.add(c); } System.out.println("加密后所得的密文為：" + cestr); // 解密 StringBuffer destr = new StringBuffer(); for (int j = 0; j < cestr.size(); j++) { this.word = this.colum(Long.parseLong(cestr.get(j).toString()), this.n, this.d); destr.append((char) word); } System.out.println("解密后所得的明文為：" + destr); } // 加密、解密計算 public long colum(long mc, long n, long key) { BigInteger bigy = new BigInteger(String.valueOf(mc)); BigInteger bign = new BigInteger(String.valueOf(n)); BigInteger bigkey = new BigInteger(String.valueOf(key)); return Long.parseLong(bigy.modPow(bigkey, bign).toString());// 備注1 } public static void main(String[] args) { try { EnAndDe t = new EnAndDe(); t.inputPQ(); t.getPublic_key(); t.getPrivate_key(); t.pascolum(); } catch (Exception e) { e.printStackTrace(); } } }
備注1：modPow(a,b)是java類BigInteger中的一個方法，返回結果是：調用該方法的對象的a次冪,模b的結果