Python入門篇-數據結構樹（tree）篇
作者：尹正傑
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一.樹概述
1>.樹的概念
非線性結構，每個元素可以有多個前軀和后繼 樹是n（n>=0）個元素的集合： n = 0時，稱為空樹 樹只有一個特殊的沒有前驅的元素，稱為樹的根root 樹中除了根結點外，其余元素只能有一個前驅，可以有零個或者多個后繼 遞歸定義： 數T是n（n>=0）個元素的集合。n=0時，稱為空樹 有且只有一個特殊元素根，剩余元素都可以被划分為m個互不相交的集合T1,T2,T3,...,Tm，而每一個集合都是樹，稱為T的子樹subtree 子樹也有自己的根
2>.數的相關術語
結點：
樹中的數據元素。
結點的度degree:
結點擁有的子樹的數目稱為度，記作d（v）。
葉子結點：
結點的度為0，稱為葉子結點leaf，終端結點，末端結點。
分支結點：
結點的度不為0，稱為非終端結點或分支結點。
分支：
結點之間的關系。
內部結點：
除根結點外的分支結點，當然也不包括葉子結點。
如下圖所示，數的度是樹內各結點的度的最大值。D結點度最大為3，樹的度數就是3.
孩子結點（兒子Child）結點：
結點的子樹的根結點稱為該結點的孩子。
雙親（父Parent）結點:
一個結點是它各子樹的根結點的雙親。
兄弟（Sibling）結點：
具有相同雙親結點的節點。
祖先節點：
從根結點到該結點所有分支上所有的節點，如上圖所示:A,B,D都是G的祖先結點。
子孫結點：
結點的所有子樹上的結點稱為該結點的子孫。B的子孫是D,G,H,I
結點的層次（Level）：
根節點為第一層，根的孩子為第二層，以此類推，記作L（v）。
樹的深度（高度Depth）：
樹的層次的最大值。上圖的樹深度為4.
堂兄弟：
雙親在同一層的結點。
有序樹：
結點的子樹是有順序的（兄弟有大小，有先后次序），不能交換。
無序樹：
結點的子樹是有無序的，可以交換。
路徑：
書中的k個節點n1,n2,n3,...,nk，滿足ni是n（i+1）的雙親，稱為n1到nk的一條路徑。就是一條線串下來的，前一個都是后一個的父（前驅）結點。
路徑的長度
路徑的長度 = 路徑上結點點數 -1，也是分支數。
森林：
m（m>=0）棵不想交的樹的集合。對於節點而言，其子樹的結合就是森林。A節點的2棵子樹的集合就是森林。
3>.數的特點
（1）唯一的根
（2）子樹不相交
（3）除了根以外，每個元素只能有一個前驅，可以有零個或多個后繼
（4）根結點沒有雙親結點（前驅），葉子結點沒有孩子結點（后繼）
（5）vi是vj的雙親，則L（vi）=L（vj）-1，也就是說雙親比孩子結點的層次小1
二.樹的分類
1>.二叉樹
（1）每個結點最多2棵子樹 二叉樹不存在度數大於2的結點。 （2）它是有序樹，左子樹，右子樹是順序的，不能交換次序 （3）即使某個節點只有一棵子樹，也要確定它是左子樹還是右子樹 （4）二叉樹的物種基本形態
1）空二叉樹
2）只有一個根結點
3）根結點只有左子樹
4）根結點只有右子樹
5）根結點有左子樹和右子樹
2>.斜樹
左斜樹
所有節點都只有左子樹
右斜樹
所有節點都只有右子樹
3>.滿二叉樹
（1）一顆二叉樹的所有分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有子節點只存在在最下面一層。 （2）同樣深度二叉樹中，滿二叉樹結點最多。 （3）K為深度（1<=k<=n）,則節點總數為2^k-1 如下圖，一個深度為4的15個節點的滿二叉樹
4>.完全Complete Binary Tree
若二叉樹的深度為k，二叉樹的層數從1到k-1層的節點數都達到了最大個數，在第k層的所有節點都集中在最左邊，這就是完全二叉樹。 完全二叉樹由滿二叉樹引出。 滿二叉樹一定是完全二叉樹，但完全二叉樹不是滿二叉樹。 k為深度（1<=k<=n），則結點總數最大值為2^k-1,當達到最大值的時候就是滿二叉樹。
如下圖所示，完全二叉樹，最下一層的葉子結點都連續的集中在左邊
三.二叉樹性質
1>.性質1
在二叉樹的第i層上最多有2^（i-1）個節點（i>=1）\
2>.性質2
深度為k的二叉樹，至多有2^k-1個結點（k>=1）
一層：2 - 1 = 1
二層：4 - 1 = 1 + 2 =3
三層：8 - 1 = 1 + 2 + 4 = 7
3>.性質3
對任何一棵二叉樹T，如果其終結結點數為n0，度數為2的節點為n2，則有n0 = n2 + 1.
換句話說，就是葉子結點數-1就等於度數為2的結點數。
證明：
（1）總結點數為n = n0 + n1 + n2，n1位度數為1的節點總數。
（2）一棵樹的分支為n-1，因為除了根結點外，其余結點都有一個分支，即n0 + n2 + n3 -1.
（3）分支數還等於n0*0 + n1*1 +n2*2,n2是2分支結點所以乘以2,2*n2 + n1.
（4）可得2*n2 + n1 = n0 + n1 + n2 -1 => n2 = n0 -1
4>.性質4
具有n個結點的完全二叉樹的深度為int(log2n)+1或者math.ceil(log2(n+1))
5>.性質5
（1）如果有一棵n個結點的完全二叉樹（深度為性質4），按照節點層次編號，如下圖所示。
（2）如果i=1，則節點i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親是int(i/2)，向下取整。就是子結點的編號整除2得到的就是父節點的編號。父結點如果是i，那么左孩子結點就是2i，右孩子結點就是2i+1.
（3）如果2i>n,則節點i無左孩子，即結點i為葉子結點；否則其左孩子結點存在編號為2i。
（4）如果2i+1>n,則結點i無右孩子，注意這里並不能說明結點i沒有左孩子；否則右孩子節點存在編號為2i+1。
6>.其他性質
（1）高度為k的二叉樹，至少有k個結點。
（2）含有n（n>=1）的結點的二叉樹高度至多為n。
（3）含有n（n>=1）的結點的二叉樹的高度至多為n，最少為math.ceil(log2(n+1)),不小於對數值的最小整數，向上取整。
（4）假設高度為h，2^h-1=n => h = log2(n+1)，層次數是取整。如果是8個節點，3.1699就要向上取整為4，為4層。