DTFT
連續時間傅里葉變換(CTFT)
連續時間傅里葉變換的定義為：
\[X(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x_a(t)e^{-j\Omega t}dt \]
其傅里葉反變換為
\[x_a(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega \]
一個能量有限的連續時間復信號的總能量\(\varepsilon_x\)為
\[\begin{aligned} \varepsilon_x&=\int_{-\infty}^{\infty}\vert x(t)\vert^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^{*}(t)dt \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega)^{*}dt \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X^{*}(j\Omega)(\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt) d\Omega \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X^{*}(j\Omega)X(j\Omega)d\Omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\vert X(j\Omega) \vert^2d\Omega \end{aligned} \]
從上面總結出這么一個公式
\[\int_{-\infty}^{\infty}\vert x(t)\vert^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\vert X(j\Omega) \vert^2d\Omega \]
這個公式稱為Parseval定理。
這個公式的意義說明，信號的能量可以在時域上進行計算，也可以在頻域上進行計算，所以把\(\vert X(j\Omega) \vert^2\)定義為能量譜密度。
至於關於連續時間傅里葉變換的一些性質及其常見變換可以參考信號與系統，因為這里的重點是引出離散時間傅里葉變換。
離散時間傅里葉變換(DTFT)
我們定義離散時間傅里葉變換為
\[X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn} \]
其實我在書上看到這里的時候不太理解為什么離散傅里葉變換要這么定義，其實書上直接給出這么一個公式有一點"馬后炮"的感覺，我想知道這個公式為什么這么定義，想知道的是一個設計的過程，這么定義為什么能夠給出頻譜密度，所以接下來談談我的理解。
說到頻譜密度的話，我們其實對連續傅里葉變換比較了解，並且知道為什么連續傅里葉變換為什么能反映連續信號的頻譜密度，所以我打算從連續時間信號進行入手。
考慮離散時間信號\(x[n]\)是對連續時間信號\(x_a(t)\)的抽樣,抽樣的周期為\(T_s\),得到抽樣信號\(\hat{x}_a(t)\),假設連續時間信號的傅里葉變換為\(X(j\Omega)\)(在接下來的表示中，連續時間信號的頻域符號用\(\Omega\)表示，離散時間信號頻域符號用\(w\)表示)，那么抽樣信號\(\hat{x}_a(t)\)的傅里葉變換為
\[\hat{x}_a(t)=x_a(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT_s)\delta(t-nT_s) \]
由於\(\delta(t-nT_s)\)的傅里葉變換為\(e^{-j\Omega nT_s}\),所以
\[\hat{X}(j\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT_s)e^{-j\Omega nT_s} \]
仔細觀察這個表達式，雖然從這個表達式中看不出\(\hat{X}_a(j\Omega)\)與\(X(j\Omega)\)的關系，但是敏銳的人已經發現了這個表達式與我們所定義的離散時間傅里葉變換之間的聯系，如果用\(x[n]\)替換\(x[nT_s]\)(這樣的替換顯然是合理的)，並且令\(w=\Omega T_s\),我們就可以得到離散時間傅里葉變換的表達式
\[X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn} \]
我們似乎解決了\(DTFT\)的由來，但是沒有解決為什么\(DTFT\)能夠表示信號的頻譜，為了解決這個問題，我們還是要研究一下\(\hat{X}(j\Omega)\),由於
\[\hat{x}_a(t)=x_a(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s) \]
而
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\xrightarrow{CTFT}\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-n\Omega_s), \, \Omega_s=\frac{2\pi}{T_s} \]
這個傅里葉變換不熟悉的去翻閱資料，因為在這里推導的話可能會破壞思路的連續性，所以就不進行推導了。所以得到\(\hat{X}(j\Omega)\)的另一表達形式
\[\begin{aligned} \hat{X}(j\Omega)&=\frac{1}{2\pi}X(j\Omega)*\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-n\Omega_s)\\ &=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(j(\Omega -n\Omega_s)) \end{aligned} \]
看到這里就明朗了，從表達式上看，\(\hat{X}(j\Omega)\)與\(X(j\Omega)\)的關系為\(\hat{X}(j\Omega)\)是\(X(j\Omega)\)以\(\Omega_s\)為周期進行周期延拓。如果\(\Omega_s\)足夠大(如果知道抽樣定理，就知道\(\Omega_s \geq 2\Omega_m\)即可，\(\Omega_m\)是\(x_a(t)\)的最高頻率)使得\(\hat{X}(j\Omega)\)沒有發生混疊的話，那么\(X(j\Omega)\)只是\(\hat{X}(j\Omega)\)的一個周期。
根據
\[X(e^{jw})=\hat{X}(j\Omega)\vert_{w=\Omega T_s} \]
所以就可以知道為什么\(X(e^{jw})\)為什么可以表示信號的頻譜。
因為\(\hat{X}(j\Omega)\)是一個周期信號，根據
\[X(e^{jw})=\hat{X}(j\Omega)\vert_{w=\Omega T_s} \]
所以\(X(je^{jw})\)也是一個周期信號，其周期為\(2\pi\),如下證明
\[X(e^{j(w+2\pi)})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j(w+2\pi)n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}=X(e^{jw}) \]
在\([-\pi,\pi]\)上，\(X(e^{jw})\)就包含了原模擬頻譜的所有信息，所以離散時間傅里葉反變換的公式定義為
\[x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw \]
如果對連續時間信號的抽樣及其重建感興趣的話，可以參考連續時間信號的抽樣及其重建
對稱性質
在之前我們有定義共軛對稱序列\(x_{cs}[n]=\frac{1}{2}(x[n]+x^{*}[-n])\)以及共軛反對稱序列\(x_{ca}[n]=\frac{1}{2}(x[n]-x^{*}[-n])\)，同理，我們定義\(X_{cs}(e^{jw})=\frac{1}{2}(X(e^{jw})+X^{*}(e^{-jw}))\)為\(X(e^{jw})\)的共軛對稱部分，\(X_{ca}(e^{jw})=\frac{1}{2}(X(e^{jw})-X^{*}(e^{-jw}))\)為\(X(e^{jw})\)的共軛反對稱部分。
假設復序列\(x[n]\)的\(DTFT\)為\(X(e^{jw})\)，那么\(x^{*}[n]\)的\(DTFT\)為
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{*}[n]e^{-jwn}=(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-(-jwn)})^{*}=X^{*}(e^{-jw}) \]
\(x[-n]\)的\(DTFT\)為
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[-n]e^{-jwn}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-(-jwm)}=X(e^{-jw}) \]
所以綜合以上二者得到\(x^{*}[-n]\)的\(DTFT\)為\(X^{*}(e^{jw})\)
所以該序列實部的\(DTFT\)為
\[DTFT[x_{re}[n]]=DTFT[\frac{1}{2}(x[n]+x^{*}[n])]=\frac{1}{2}(X(e^{jw})+X^{*}(e^{-jw}))=X_{cs}(e^{jw}) \]
虛部的\(DTFT\)為
\[DTFT[jx_{im}[n]]=DTFT[\frac{1}{2}(x[n]-x^{*}[n])]=\frac{1}{2}(X(e^{jw})-X^{*}(e^{-jw}))=X_{ca}(e^{jw}) \]
共軛對稱部分的\(DTFT\)為
\[DTFT[x_{cs}[n]]=DTFT[\frac{1}{2}(x[n]+x^{*}[-n])]=\frac{1}{2}(X(e^{jw})+X^{*}(e^{jw}))=X_{re}(e^{jw}) \]
共軛反對稱部分的\(DTFT\)為
\[DTFT[x_{ca}[n]]=DTFT[\frac{1}{2}(x[n]-x^{*}[-n])]=\frac{1}{2}(X(e^{jw})-X^{*}(e^{jw}))=jX_{im}(e^{jw}) \]
簡單的把上面的公式總結一下
\[x_{r e}[n] \stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow} X_{c s}\left(e^{j w}\right) \]
\[j x_{i m}[n] \stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow} X_{c a}\left(e^{j w}\right) \]
\[x_{c s}[n] \stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow} X_{r e}\left(e^{j w}\right) \]
\[x_{c a}[n] \stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow} j X_{i m}\left(e^{j w}\right) \]
這就是\(DTFT\)的一些對稱性質。
收斂條件
從\(DTFT\)的表達式看，這是一個無窮級數的求和，所以是有收斂條件的。
如果如果信號滿足
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n]\vert < \infty \]
那么稱序列\(x[n]\)絕對可和，並且由於
\[\vert X(e^{jw})\vert=\vert \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}\vert \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n] \vert\vert e^{-jwn}\vert<\infty \]
即如果\(x[n]\)是絕對可和的話，那么\(X(e^{jw})\)一定存在，所以\(x[n]\)絕對可和是離散時間傅里葉\(X(e^{jw})\)存在的充分條件。這種收斂稱為一致收斂。
考慮另一種收斂為均方收斂，有的信號不是絕對可和信號，但是
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n]\vert^2 < \infty \]
該種收斂不是一致收斂，所以會產生Gibbs現象。
另一信號是既不是絕對可和信號，也不是平方可和信號(比如常數,單位階躍信號\(\mu[n]\))，為了定義其傅里葉變換，引入了狄拉克函數\(\delta(t)\),關於狄拉克函數在信號與系統中有詳細介紹，這里不多講。
常見DTFT變換對
1
\[\delta[n] \stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow} 1 \]
證明：
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n]e^{-jwn}=1 \]
2
\[1,(-\infty<n>\infty) \stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow} \sum_{k=-\infty}^{\infty} 2 \pi \delta(w+2 \pi k) \]
證明：由於常數1既不是絕對可和序列，也不是平方可和序列，所以其傅里葉變換為帶有狄拉克函數，證其傅里葉變換比較困難，我絕對從其反變換入手:
\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi \delta(w+2\pi k)dw=1 \]
3
\[\mu[n] \stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow}{1-e^{-j w}}+\sum_{k=-\infty}^{\infty} \pi \delta(w+2 \pi k) \]
證明:\(\mu[n]\)既不是絕對可和序列，也不是平方可和序列，還是得從另外的方法去證,將\(\mu[n]\)分解為偶部和奇部，則其偶部為
\[y_{ev}[n]=\frac{1}{2}(\mu[n]+\mu[-n])=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\delta[n] \]
其傅里葉變換為
\[Y_{ev}(e^{jw})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi \delta(w+2\pi k)+\frac{1}{2} \]
其奇部為
\[y_{od}[n]=\frac{1}{2}(\mu[n]-\mu[-n])=\frac{1}{2}(2\mu[n]-(\mu[n]+\mu[-n]))=\mu[n]-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\delta[n] \]
所以
\[y_{od}[n]-y_{od}[n-1]=\frac{1}{2}(\delta[n]+\delta[n-1]) \]
\[\Rightarrow (1-e^{-jw})Y_{od}(e^{jw})=\frac{1}{2}(1+e^{-jw}) \]
\[\Rightarrow Y_{od}(e^{jw})=\frac{1}{2}\frac{1+e^{jw}}{1-e^{jw}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1-e^{jw}} \]
所以
\[\mu[n]\xrightarrow{DTFT}Y_{ev}(e^(jw))+Y_{od}(e^{jw})=\frac{1}{1-e^{-jw}}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi \delta(w+2\pi k) \]
4
\[e^{j w_0 n} \stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow} \sum_{k=-\infty}^{\infty} 2 \pi \delta\left(w-w_{0}+2 \pi k\right) \]
證明:
\[1\xrightarrow{DTFT}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-jwn}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi \delta(w+2\pi k) \]
\[e^{jw_0n}\xrightarrow{DTFT}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j(w-w_0)n}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi \delta(w-w_0+2\pi k) \]
5
\[\alpha^n\mu[n],(\vert \alpha \vert < 1)\stackrel{D T F T}{\longleftrightarrow}\frac{1}{1-\alpha e^{-jw}} \]
證明:
該序列是絕對可和序列，所以可用\(DTFT\)的定義直接求和
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha^{n}\mu[n]e^{-jwn}=\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha e^{-jw})^n=\frac{1}{1-\alpha e^{-jw}} \]
