Java算法練習——尋找兩個有序數組的中位數

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題目描述

給定兩個大小為 m 和 n 的有序數組 nums1 和 nums2。

請你找出這兩個有序數組的中位數，並且要求算法的時間復雜度為 $O(log(m + n))$。

你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空。

示例 1

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

則中位數是 2.0

示例 2

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5

題解

public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
    int m = A.length;
    int n = B.length;
    if (m > n) { // 實現 m<=n
        int[] temp = A; A = B; B = temp;
        int tmp = m; m = n; n = tmp;
    }
    int iMin = 0, iMax = m, halfLen = (m + n + 1) / 2;
    while (iMin <= iMax) {
        int i = (iMin + iMax) / 2;
        int j = halfLen - i;
        if (i < iMax && B[j-1] > A[i]){
            iMin = i + 1; // i 太小，需要增大
        }
        else if (i > iMin && A[i-1] > B[j]) {
            iMax = i - 1; // i 太大，需要減小
        }
        else { // i 為合適值，根據不同情況返回不同值
            int maxLeft = 0;
            if (i == 0) { maxLeft = B[j-1]; }
            else if (j == 0) { maxLeft = A[i-1]; }
            else { maxLeft = Math.max(A[i-1], B[j-1]); }
            if ( (m + n) % 2 == 1 ) { return maxLeft; }

            int minRight = 0;
            if (i == m) { minRight = B[j]; }
            else if (j == n) { minRight = A[i]; }
            else { minRight = Math.min(B[j], A[i]); }

            return (maxLeft + minRight) / 2.0;
        }
    }
    return 0.0;
}

復雜度分析

• 時間復雜度：$O(log(min(m,n)))$，首先，查找的區間是 $[0, m]$。 而該區間的長度在每次循環之后都會減少為原來的一半。 所以，我們只需要執行 $log(m)$ 次循環。由於我們在每次循環中進行常量次數的操作，所以時間復雜度為 $O(log(m))$。 由於 $m≤n$，所以時間復雜度是 $O(log(min(m,n)))$。

• 空間復雜度：$O(1)$，我們只需要恆定的內存來存儲 9 個局部變量， 所以空間復雜度為 $O(1)$。

手記

如果不是對時間復雜度的限制，此題最容易想到的解法是遍歷合並數字，然后取中位數。

此題的合理解釋涉及到較多的參數推導，例如 $j = (m + n + 1) / 2 - i$，以及合適點的判斷條件 $ A[i-1] <= B[j] $ 與 $ B[j-1] <= A[i] $
同時還有邊界值的確立方法。建議詳細閱讀官方題解說明。

附

筆尖擾亂時空，
墨跡留住過往。
故事歸寂
忘不了你的眼
—————《明天沒有你》

以上