[學習筆記]支配樹

被支配樹支配的恐懼

定義

顯然，這個支配關系是一個樹（或者如果有的點不能從r到達，就是一個樹+一堆點）。

首先不會成環，其次也不會是DAG

即如果A支配C，B支配C，那么A和B之間必然有支配關系

解法

首先是DAG很好做：

[ZJOI2012]災難

一般有向圖：有環的存在，不能topo

方法分三步：

轉化為找半支配點

idom[x]表示x的支配點編號

sdom[x]表示x的半支配點編號

先找到原圖一個生成樹，找到每個點的dfn序

 

定義半支配關系為：

定義半支配點為：

即滿足支配關系dfn最小的點

 

一些認識：

A對於dfs樹

B對於支配和半支配

 

半支配點也一定是x在dfs樹上的祖先

 

請大量運用反證法和dfs算法的深度優先性質進行證明

 

雖然sdom[x]可能不是idom[x]

但是可以斷言：

證明：

實在不懂可以畫圖感性理解

 

所以如果知道sdom[x],現在已經可以專化為求DAG的支配樹了

 

如何找半支配點

 這個做法就是前面兩個認識的兩種情況。

dfn[z]>dfn[y]啟發我們倒序處理

這樣，x在T'的祖先z一定都是之前加入的，一定比y的dfn大，直接取即可。

實現維護T'？

改進：同時找支配點

 

（fix：每個點從一個祖先連過來恰好一條邊）

證明略

直接看算法流程吧：

從簡化之后的G'角度進行考慮（基本上就是一個樹形結構了），就很好理解了。

補充：

第5步之所以找fa[y]，因為先有第4步，使得當前的根是fa[y]，（4/5兩步交換，就可以直接處理sdom[x]=y的點x了）

第6步的標記還原：必須dfs序正序處理。打標記，如果沒有idom[x]=sdom[x]，那么進行處理。

開始時候，令sdom[x]=x可以省去很多麻煩！！

Code

注意比較函數的書寫。argmin與argmax

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}

namespace Miracle{
const int N=2e5+5;
const int M=3e5+5;
int n,m;
struct node{
    int nxt,to;
}e[M];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;
    hd[x]=cnt;
}
vector<int>mem[N],fr[N];
int fa[N],dfn[N],fdfn[N],idom[N],sdom[N],df;
int gf[N],val[N];
bool cmp(int x,int y){//x<y?
    return dfn[sdom[x]]<dfn[sdom[y]];
}
int chm(int x,int y){
    return dfn[x]<dfn[y]?x:y;
}
int fin(int x){
    if(gf[x]==x) return x;
    int rt=fin(gf[x]);
    val[x]=cmp(val[x],val[gf[x]])?val[x]:val[gf[x]];
    return gf[x]=rt;
}
void dfs(int x){
    dfn[x]=++df;fdfn[df]=x;
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(dfn[y]) continue;
        fa[y]=x;
        dfs(y);
    }
}
void wrk(){
    for(reg i=n;i>=2;--i){
        int x=fdfn[i];
        for(reg j=0;j<(int)fr[x].size();++j){
            int y=fr[x][j];
            if(dfn[y]<dfn[x]){
                sdom[x]=chm(y,sdom[x]);
            }else{
                int haha=fin(y);
                sdom[x]=chm(sdom[val[y]],sdom[x]);
            }
        }
        mem[sdom[x]].push_back(x);
        gf[x]=fa[x];
        x=fa[x];
        for(reg j=0;j<(int)mem[x].size();++j){
            int y=mem[x][j];
            int haha=fin(y);
            if(sdom[val[y]]==sdom[y]) idom[y]=sdom[y];
            else idom[y]=val[y];
        }
    }
    for(reg i=2;i<=n;++i){
        int x=fdfn[i];
        if(idom[x]!=sdom[x]) idom[x]=idom[idom[x]];
    }
}
int sz[N];
void sol(int x){
    sz[x]=1;
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        sol(y);
        sz[x]+=sz[y];
    }
}
int main(){
    rd(n);rd(m);
    int x,y;
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        rd(x);rd(y);add(x,y);
        fr[y].push_back(x);
    }
    dfs(1);    
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        sdom[i]=i,val[i]=i,gf[i]=i;
    }
    wrk();
    memset(hd,0,sizeof hd);cnt=0;
    for(reg i=2;i<=n;++i){
        add(idom[i],i);
    }
    // prt(dfn,1,n);
    // prt(fa,1,n);
    // prt(sdom,1,n);
    // prt(idom,1,n);
    sol(1);
    prt(sz,1,n);
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/

例題

其實就是[ZJOI2012]災難

別的沒什么題目。。。。