Codeforces Round #557 題解
掉分快樂
CF1161A Hide and Seek
Alice和Bob在玩捉♂迷♂藏，有\(n\)個格子，Bob會檢查\(k\)次，第\(i\)次檢查第\(x_i\)個格子，如果Alice在這個格子就輸了。Alice一開始會在一個格子，可以在Bob檢查過一次后向一個相鄰的格子移動（整局游戲只能用一次）。求Alice有多少種方案贏。
兩個方案相同當且僅當Bob檢查之前Alice的位置和Bob做完所有檢查之后Alice的位置都相同。
cao，sb閱讀題。。。
直接枚舉方案判斷即可
https://codeforces.com/contest/1161/submission/53750223
CF1161B Chladni Figure
有一個圓形光碟，圓上均勻放着\(n\)個點。一些點之間有連邊。
問這個光碟是否可以旋轉一定角度和自己相等。（顯然不能是360度）
kao我是sb這都不會了。。。
對一個角度暴力判斷是\(O(n)\)的，然后可能的角度肯定是\(n\)的約數就做完了。。
https://codeforces.com/contest/1161/submission/53768643
CF1161C Thanos Nim
取石子游戲，每次選擇\(n/2\)堆取任意數量石子，不能操作者輸。
（此題我還是不知道是啥意思，"They can remove a different number of stones from the piles in a single turn"這句話太鬼了）
顯然的可以知道，如果有人取完一堆石頭這個人就輸了。
如果最小值的數量小於等於\(n/2\)則Alice贏，否則Bob贏。
如果現在在必勝態，就有\(\geq n/2\)個石子嚴格大於當前最小值，將它們減到最小值，就到達了必敗態。
如果是必敗態，至少會取到一個最小值的堆減小最小值，那么新的最小值數量最多也就\(n/2\)個。
https://codeforces.com/contest/1161/submission/53769976
CF1161D Palindrome XOR
有一個數字串\(s\)，由0、1和?組成，串長為\(n\)，第0位是1。你要取兩個數\(a,b\)，滿足以下條件：
- \(0<a<b<2^n\)
- \(a\)和\(b\)去掉前導\(0\)之后是回文數字
- \(a\text{ xor }b\)的二進制表示與給定的數字串匹配。
?可以匹配0和1，0和1只能匹配對應的數字。
由只有0和1可以想到圖的染色。
因為\(s\)保證了第0位是1，那么顯然\(a\)第0位是0，\(b\)第0位是1，b的長度就一定是\(n\)了。枚舉\(a\)的長度\(l\)，建一張圖。對\(a,b\)每一位都建一個點，設為\(A_i,B_i\)，再建一個\(I\)點表示\(0\)。
點的顏色只有\(0,1\)兩種，邊有權值\(0\)或\(1\)，意義是連的兩個點顏色相等/不等。
顯然連邊滿足條件。第一個條件已經滿足了，再看第二個條件，對於\(a\)只需要對所有滿足條件的\(i,j\)連邊\((A_i,A_j,0)\)即可，\(b\)一樣。
第三個條件也很好滿足，將對應位置的\(A_i,B_i\)連邊\((A_i,B_i,s_i)\)即可。如果\(s_i\)是?不需要連邊，如果\(A_i\)不存在就是\(0\)，向\(I\)連邊。
還有，因為第一位一定是是\(1\)，所以連邊\((B_1,I,1),(A_{n-lena+1},I,1)\)。
對整個圖進行染色，如果可以染色，設聯通塊數量是\(C\)，答案加上\(2^{C-1}\)，因為\(I\)一定取\(0\)，剩下的聯通塊可以任意交換\(0,1\)。
https://codeforces.com/contest/1147/submission/53788363
CF1161E Rainbow Coins
交互題
有\(n\)個硬幣，每個硬幣有3種可能顏色。
你可以拿出兩個硬幣詢問顏色是否相等。
你每次可以同時詢問若干對硬幣，但是一次詢問中不能有硬幣被詢問過2次。
最后輸出三組數，每一組里的硬幣顏色應該相同。
最多詢問7次。（一次可以同時詢問多組）
首先詢問兩次，第一次詢問\((2i-1,2i)(i\geq 1)\)，第二次詢問\((2i,2i+1),\cdots(i\geq 1)\)，相鄰的兩個如果相同就縮起來，這樣序列相鄰兩個都不同了。
然后在縮完以后的序列上詢問兩次，都詢問\((i,i+2)(i\geq 1)\)，兩次可以問完。通過這個可以求出\(last_i\)表示\(i\)與\(i-2\)顏色是否相等。
然后就可以遞推一遍求出答案了。前兩塊顏色分別是0,1，然后遞推到塊\(i\)時，如果\(lst_i=1\)，那么\(col_i=col_{i-2}\)，否則因為\(col_i\neq col_{i-1},col_i\neq col_{i-2}\)，\(i\)的顏色還是唯一確定的。
https://codeforces.com/contest/1161/submission/53793188
CF1161F Zigzag Game
有一個二分圖，左右各\(n\)個點，邊有權值。alice和bob在上面玩游戲，alice先選擇“增加”或者“減少”，bob會選擇剩下的，然后alice選一個開始點，雙方輪流在二分圖上移動，bob先任意移動一步，然后如果alice選了增加，alice移動的邊較上次必須嚴格更大，bob同理。顯然無法移動就輸了。而且不能走到以前走到過的點。你要和judger玩這個游戲，你先選則玩alice還是bob，然后玩游戲，顯然你要贏。
因為zsy太強了，bob是實際意義上的先手，當然選bob了。（而且樣例2說明了選alice可能直接暴斃）
還是因為zsy太強了，在二分圖上的博弈要先找一個匹配，每次直接走匹配上的邊。
假設Alice選了“增加”（否則取反所有邊權）並選一個左邊的點開始。如果有連續的三步\(a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow d\)，且\(a,c\)在左邊，\(b,d\)在右邊，那么\(a\rightarrow b,c\rightarrow d\)是bob走的，\(b\rightarrow c\)是alice走的。因為移動的“增加”“減少”限制，我們需要滿足\(W_{a,b}<W_{b,c},W_{b,c}>W_{c,d}\)。
還是因為zsy太強了，這是一個穩定婚姻問題，左邊點對於右邊點的權值是邊權，右邊對於左邊點的是邊權相反數。