<更新提示>
<第一次更新>
閱讀本文前，請確保已經閱讀並理解了如下兩篇文章：
『線段樹 Segment Tree』
『線段樹簡單運用』
<正文>
引入
這是一種由\(THU-zkw\)大佬發明的數據結構，本質上是經典的線段樹區間划分思想，采用了自底向上的方式傳遞區間信息，避免的遞歸結構，其代碼相對經典線段樹更簡單，常數更小，易於實現。
統計的力量-源自這里。
基礎非遞歸
接下來，我們將講解\(zkw\)線段樹的第一種實現形式，用於單點修改 區間查詢，我們以查詢區間最大值為例來講解。
建樹
普通線段樹需要建樹，\(zkw\)線段樹當然也需要建樹。
考慮線段樹的一個性質，其樹上的葉節點代表的往往都是形如\([x,x]\)的元區間，而且除最后一層外，線段樹是一顆滿二叉樹，所以我們要把這顆線段樹的數組大小先申請好了。
一棵滿二叉樹有\(x\)個節點時，它有\(\frac{x+1}{2}\)個葉子節點，而我們需要至少\(n\)個葉子節點的線段樹，即使\(\frac{x+1}{2}\geq n\)，那么我們設\(x=1\)，在\(\frac{x+1}{2}<n\)時不斷執行\(x*=2\)，就能得到足夠大小的線段樹下標\(base\)，由於線段樹的葉子節點可能分布在兩層，所以保險起見，我們還需再將\(x\)擴大一倍，即在\(x+1<n\)時不斷執行\(x*=2\)就可以了。
得到合適的下標位置后，將\(1-n\)下標位置的原數據直接存入線段樹的葉子節點即可。
其實，我們還需將下標再擴大兩個位置，即需要保證\(x>n\)，才停止執行\(x*=2\)。其原因是這樣的：在執行區間查詢操作時，我們需要將查詢區間\([l,r]\)更改為\((l,r)\)(關於原因，我們之后再分析)，才便於\(zkw\)線段樹的查詢，那么在詢問\([1,n]\)時，可能為調用到\([0,n+1]\)的原下標，所以還需再擴大兩個位置。
得到了合適的下標\(base\)並將\(1-n\)的數據存入對應位置后，當然我們還要對\(1\)到\(base-1\)的線段樹位置進行區間更新，這個普通的更新就可以了。
\(Code:\)
inline void reset(void)
{
memset( val , 0 , sizeof val );
base = 1;
}
inline void build(int *s,int len)
{
for (;base<=len;base<<=1);
for (int i=base+1;i<=base+len;i++)
val[i] = s[i-base];
for (int i=base-1;i>=1;i--)
val[i] = max( val[i<<1] , val[i<<1|1] );
}
單點修改
直接在葉節點上修改對應的值，然后更新其每一個父節點即可。
\(Code:\)
inline void modify(int pos,int x)
{
pos += base;val[pos] = x;
for (pos>>=1;pos;pos>>=1)
val[pos] = max( val[pos<<1] , val[pos<<1|1] );
}
區間查詢
我們先來看一個最大值線段樹。
其中，葉節點下面的橙色代表數組上的原數值，淡藍色代表線段樹對應節點的區間最大值，棕色代表查詢區間的范圍，如圖，我們需要查詢區間\([3,7]\)的最大值。
顯然，我們只要查詢上圖帶五角星的幾個線段樹節點的關鍵值，就能得知最大值。
在\(zkw\)線段樹上，我們考慮如下一種方式：
先將閉區間\([3,7]\)拓展為開區間\((2,8)\)，我們設兩個指針\(l=2,r=8\)。
然后讓\(l,r\)依次向上找父親節點，直到兩個節點\(l,r\)的父親節點相同，我們停止向上查找。此時，結束位置的兩個節點標記了粉色星，需要查詢的節點還是標記的紅色星。
不難發現規律：當指針\(l\)經過的節點是一個左兒子時，或者當指針\(r\)經過的節點是一個右兒子時，它的兄弟就是一個需要查詢的節點。
對於一個查詢，我們只需將閉區間轉換為開區間，就能通過向上找父親的遍歷得到區間的答案，這就是使用開區間，並要求數組大小至少大於原大小兩個位置的原因。
\(Code:\)
inline int query(int l,int r)
{
int res = 0;
for ( l=base+l-1 , r=base+r+1 ; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 )
{
if ( ~ l & 1 )res = max( res , val[l^1] );
if ( r & 1 )res = max( res , val[r^1] );
}
return res;
}
至此，我們就能用極短的代碼和很高的效率實現單點修改，區間查詢的線段樹了。
\(Code:\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100200;
int val[N<<2],base,n,a[N];
inline void read(int &k)
{
int x=0,w=0;char ch;
while (!isdigit(ch))
w |= ch=='-' , ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x = x*10 + ch-48 , ch=getchar();
k=(w?-x:x);return;
}
inline void reset(void)
{
memset( val , 0 , sizeof val );
base = 1;
}
inline void build(int *s,int len)
{
for (;base<=len;base<<=1);
for (int i=base+1;i<=base+len;i++)
val[i] = s[i-base];
for (int i=base-1;i>=1;i--)
val[i] = max( val[i<<1] , val[i<<1|1] );
}
inline void modify(int pos,int x)
{
pos += base;val[pos] = x;
for (pos>>=1;pos;pos>>=1)
val[pos] = max( val[pos<<1] , val[pos<<1|1] );
}
inline int query(int l,int r)
{
int res = 0;
for ( l=base+l-1 , r=base+r+1 ; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 )
{
if ( ~ l & 1 )res = max( res , val[l^1] );
if ( r & 1 )res = max( res , val[r^1] );
}
return res;
}
int main(void)
{
read(n);
reset();
build(a,n);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int op,k1,k2;
read(op);read(k1);read(k2);
if (op==1)modify(k1,k2);
if (op==2)printf("%d\n",query(k1,k2));
}
return 0;
}
簡單標記
在此，我們要實現\(zkw\)線段樹的第二種基本形式，用於區間修改 區間求和。
標記永久化
對於區間修改 區間求和的\(zkw\)線段樹，最重要的思想就是標記永久化的思想。
對於區間修改，我們在普通線段樹上是通過\(lazytag\)的標記方式實現的，對於修改和查詢操作調用到時，再下傳標記。而在\(zkw\)線段樹中，顯然向下傳遞標記的方式是毫無用武之地了。那么，我們引入一種新的標記思想：標記永久化。
對於一個節點，若修改操作對節點所代表的整個區間產生影響，顯然我們可以直接對該節點進行標記，而非逐層遞歸修改。那么，在自底向上的線段樹中，我們可以不下傳標記，而是在每一次查詢時，統計累加一路上所有標記對答案產生的影響，這種標記思想被稱為標記永久化。
建樹
該版本\(zkw\)線段樹的建樹方式和第一種形式的\(zkw\)線段樹的建樹方式一致，不再重復說明。
\(Code:\)
inline void build(void)
{
for (;base<=n;base<<=1);
for (int i=base+1;i<=base+n;i++)
val[i] = a[i-base];
for (int i=base-1;i>=1;i--)
val[i] = val[i<<1] + val[i<<1|1] ;
}
區間修改
關於標記永久化，我們進行定義：\(add_i\)代表線段樹中\(i\)號節點的關鍵值已經進行修改，但是其所有子節點均有一個值為\(add_i\)的增量未進行處理。
我們采用上一版本\(zkw\)線段樹區間查詢的方式，設置兩個開區間指針\(l,r\)，並同時向上遍歷。同時，我們維護三個變量\(lcnt,rcnt,cnt\)，分別代表左指針處理增量的節點個數，右指針處理增量的節點個數，兩個指針當前所在節點左包含的葉節點個數。
然后利用上述變量和\(add\)標記的定義，沿路更新\(add\)標記和原線段樹即可，當然，對於\(l,r\)成為兄弟后，我們還須將\(add\)標記一直上推到根節點。
\(Code:\)
inline void modify(int l,int r,long long delta)
{
long long lcnt = 0 , rcnt = 0 , cnt = 1 ;
for ( l=base+l-1 , r=base+r+1 ; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 , cnt<<=1 )
{
val[l] += delta*lcnt;
val[r] += delta*rcnt;
if ( ~ l & 1 )
add[l^1] += delta , val[l^1] += delta*cnt , lcnt += cnt;
if ( r & 1 )
add[r^1] += delta , val[r^1] += delta*cnt , rcnt += cnt;
}
for (; l || r ; l>>=1 , r>>=1 )
val[l] += delta*lcnt , val[r] += delta*rcnt;
}
區間求和
有了\(add\)標記，我們就很容易求得區間的和了。還是一樣的方式，將閉區間轉換為開區間，然后向上遍歷，同樣維護\(lcnt,rcnt,cnt\)，然后利用\(add\)標記進行累加，再加上原來的區間和，就能得到答案。
\(Code:\)
inline long long query(int l,int r)
{
long long lcnt = 0 , rcnt = 0 , cnt = 1 ;
long long res = 0;
for ( l=base+l-1 , r=base+r+1 ; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 , cnt<<=1 )
{
if (add[l]) res += add[l]*lcnt;
if (add[r]) res += add[r]*rcnt;
if ( ~ l & 1 )
res += val[l^1] , lcnt += cnt;
if ( r & 1 )
res += val[r^1] , rcnt += cnt;
}
for (; l || r ; l>>=1 , r>>=1 )
res += add[l]*lcnt , res += add[r]*rcnt;
return res;
}
至此，我們已經實現了支持區間修改，區間求和的\(zkw\)線段樹了，對於更多需要維護求和性質的值，也可以使用標記永久化的思想，這需要讀者理解掌握。
\(Code:\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100020;
long long n,q,a[N],val[N<<2],base,add[N<<2];
inline void reset(void)
{
memset( val , 0 , sizeof val );
memset( add , 0 , sizeof add );
base = 1;
}
inline void build(void)
{
for (;base<=n;base<<=1);
for (int i=base+1;i<=base+n;i++)
val[i] = a[i-base];
for (int i=base-1;i>=1;i--)
val[i] = val[i<<1] + val[i<<1|1] ;
}
inline void modify(int l,int r,long long delta)
{
long long lcnt = 0 , rcnt = 0 , cnt = 1 ;
for ( l=base+l-1 , r=base+r+1 ; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 , cnt<<=1 )
{
val[l] += delta*lcnt;
val[r] += delta*rcnt;
if ( ~ l & 1 )
add[l^1] += delta , val[l^1] += delta*cnt , lcnt += cnt;
if ( r & 1 )
add[r^1] += delta , val[r^1] += delta*cnt , rcnt += cnt;
}
for (; l || r ; l>>=1 , r>>=1 )
val[l] += delta*lcnt , val[r] += delta*rcnt;
}
inline long long query(int l,int r)
{
long long lcnt = 0 , rcnt = 0 , cnt = 1 ;
long long res = 0;
for ( l=base+l-1 , r=base+r+1 ; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 , cnt<<=1 )
{
if (add[l]) res += add[l]*lcnt;
if (add[r]) res += add[r]*rcnt;
if ( ~ l & 1 )
res += val[l^1] , lcnt += cnt;
if ( r & 1 )
res += val[r^1] , rcnt += cnt;
}
for (; l || r ; l>>=1 , r>>=1 )
res += add[l]*lcnt , res += add[r]*rcnt;
return res;
}
inline void solve(void)
{
scanf("%lld%lld",&n,&q);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
reset();
build();
for (int i=1;i<=q;i++)
{
char op;
scanf("\n%c",&op);
if (op=='C')
{
int l,r;long long delta;
scanf("%d%d%lld",&l,&r,&delta);
modify(l,r,delta);
}
if (op=='Q')
{
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%lld\n",query(l,r));
}
}
}
int main(void)
{
freopen("b.in","r",stdin);
freopen("b.out","w",stdout);
solve();
return 0;
}
差分思想和區間最值
接下來，我們將要嘗試實現使用區間查詢的另一種形式，區間最值的查詢。
用上述兩個模板稍微結合，更改一下難道不就可以實現區間修改，區間最值的\(zkw\)線段樹了嗎？答案是否定的。在區間修改的限制下，如果還用標記永久化的思想，由於標記的大小和位置未知，那么區間最值的查詢就會出問題。
差分思想
現在，我們線段樹上的節點將不再存對應區間的關鍵值了。我們需要用\(zkw\)線段樹來維護原關鍵值的差分值，若原來的\(val_i\)代表節點\(i\)所代表區間的最大值，則現在我們需要維護的\(val'_i=val_i-val_{i/2}\)，特殊地，\(val_1\)仍代表整個區間的最大值。
可能讀者已經發現一點性質了：從任意葉節點\(y\)開始，一直向上找父親，並累加對應點的權值，就得到了原節點的權值。
其實，我們還可以用這樣的方式理解：\(val_i\)代表\(i\)節點所在區間的最大值比其父親節點所在區間最大值大多少(可能負數)。
建樹
還是可以利用和之前一樣的方式建樹，特殊地，在存完一個節點的值以后要利用\(val_i\)的定義來計算得到差分的值。
\(Code:\)
inline void build(void)
{
for (;base<=n;base<<=1);
for (int i=base+1;i<=base+n;i++)
val[i] = a[i-base];
for (int i=base;i>=1;i--)
val[i] = max( val[i<<1] , val[i<<1|1] ) ,
val[i<<1] -= val[i] , val[i<<1|1] -= val[i];
}
區間修改
有了差分線段樹以后，我們發現區間修改就可以直接在樹上操作了。還是利用開區間的方式，向上查找父親並更新線段樹，對於沿路訪問到的每一個節點，由於可能其子樹中包含修改過的節點，就要利用差分定義上傳一下差值給父親，就還能維護之前所提到的性質，而不用再去操作子節點。
同樣地，對於\(l,r\)指針成為兄弟后，還需將差值上推到根節點。
\(Code:\)
inline void modify(int l,int r,int delta)
{
int temp;
for ( l=l+base-1 , r=r+base+1 ; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 )
{
if ( ~ l & 1 ) val[l^1] += delta;
if ( r & 1 ) val[r^1] += delta;
temp = max( val[l] , val[l^1] );
val[l] -= temp , val[l^1] -= temp , val[l>>1] += temp;
temp = max( val[r] , val[r^1] );
val[r] -= temp , val[r^1] -= temp , val[r>>1] += temp;
}
for (; l > 1 ; l>>=1 )
temp = max( val[l] , val[l^1] ) ,
val[l] -= temp , val[l^1] -= temp , val[l>>1] += temp;
}
區間最值
維護了這樣一顆差分線段樹，我們就可以用一種簡單的方式來查詢區間最值了。
這次，我們維護\(l,r\)為閉區間的左右指針，在向上找父親遍歷的過程中，對左右指針遍歷到節點的區間差分值取一下最大值，再一直向上累加，累加到根節點，就是區間最大值，這和單點向上累加的道理是一樣的。
\(Code:\)
inline int query(int l,int r)
{
int lres = 0 ,rres = 0;
l += base , r += base;
if ( l ^ r )
{
for (; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 )
{
lres += val[l] , rres += val[r];
if ( ~ l & 1 ) lres = max( lres , val[l^1] );
if ( r & 1 ) rres = max( rres , val[r^1] );
}
}
int res = max( lres + val[l] , rres + val[r] );
while ( l > 1 ) res += val[l>>=1];
return res;
}
這樣，\(zkw\)線段樹的三類基礎模板就已經得到實現了，有關更多的拓展，需要我們靈活運用。
\(Code:\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100200;
int val[N<<2],n,a[N],base;
inline void read(int &k)
{
int x=0,w=0;char ch;
while (!isdigit(ch))
w |= ch=='-' , ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x = x*10 + ch-48 , ch=getchar();
k=(w?-x:x);return;
}
inline void reset(void)
{
memset( val , 0 , sizeof val );
base = 1;
}
inline void build(void)
{
for (;base<=n;base<<=1);
for (int i=base+1;i<=base+n;i++)
val[i] = a[i-base];
for (int i=base;i>=1;i--)
val[i] = max( val[i<<1] , val[i<<1|1] ) ,
val[i<<1] -= val[i] , val[i<<1|1] -= val[i];
}
inline void modify(int l,int r,int delta)
{
int temp;
for ( l=l+base-1 , r=r+base+1 ; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 )
{
if ( ~ l & 1 ) val[l^1] += delta;
if ( r & 1 ) val[r^1] += delta;
temp = max( val[l] , val[l^1] );
val[l] -= temp , val[l^1] -= temp , val[l>>1] += temp;
temp = max( val[r] , val[r^1] );
val[r] -= temp , val[r^1] -= temp , val[r>>1] += temp;
}
for (; l > 1 ; l>>=1 )
temp = max( val[l] , val[l^1] ) ,
val[l] -= temp , val[l^1] -= temp , val[l>>1] += temp;
}
inline int query(int l,int r)
{
int lres = 0 ,rres = 0;
l += base , r += base;
if ( l ^ r )
{
for (; l ^ r ^ 1 ; l>>=1 , r>>=1 )
{
lres += val[l] , rres += val[r];
if ( ~ l & 1 ) lres = max( lres , val[l^1] );
if ( r & 1 ) rres = max( rres , val[r^1] );
}
}
int res = max( lres + val[l] , rres + val[r] );
while ( l > 1 ) res += val[l>>=1];
return res;
}
inline void solve(void)
{
scanf("%d",&n);
reset();
build();
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int op,k1,k2;
read(op),read(k1),read(k2);
if (op==1)modify(k1,k2,1);
if (op==2)printf("%d\n",query(k1,k2));
}
}
int main(void)
{
solve();
return 0;
}
<后記>