漢諾塔（一）
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難度：3
描述
在印度，有這么一個古老的傳說：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的聖廟里，一塊黃銅板上插着三根寶石針。印度教的主神梵天在創造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預言，當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸於盡。
現在請你計算出起始有m個金片的漢諾塔金片全部移動到另外一個針上時需要移動的最少步數是多少？（由於結果太大，現在只要求你算出結果的十進制位最后六位）
輸入
第一行是一個整數N表示測試數據的組數(0<N<20)
每組測試數據的第一行是一個整數m,表示起始時金片的個數。(0<m<1000000000)
輸出
輸出把金片起始針上全部移動到另外一個針上需要移動的最少步數的十進制表示的最后六位。
樣例輸入
2
1
1000
樣例輸出
1
69375
// 快速冪：首先要了解這樣一個公式：a^b mod c=(a mod c)^b mod c(mod為取余符號即%)(詳細證明請看數論或者離散數學)
//方法1：用二分法取余
#include <stdio.h>
#define mod 1000000
long long pow(long long n)
{
long long t=1,x=2;
while( n>0 )
{
x %= mod;
if(n & 1)
t = (t * x) % mod;
x = (x * x) % mod;//先做2的平方，之后2的4次方(2次方的平方)
n >>= 1;//由於上一步使得n次方縮半
}
return t;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
long long m;
scanf("%lld",&m);
printf("%lld\n", pow(m) - 1 );
}
return 0;
}
//方法2：用遞歸二分法取余
#include <stdio.h>
int pm(long long m)
{
const int p=1000000;
if(m==1)
return 2;
long long t=pm(m>>1); //m>>1相當於m/2 二分
return (t*t%p) * ((m&1?2:1)%p) % p;// m&1 相當於 m%2 如果m是奇數多乘個2，如果是偶數乘以1 （不變）
}
int main()
{
int n;
long long a;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%lld",&a);
printf("%d\n",pm(a)-1);
}
}
//思路3：（沒用冪求）
//對於漢諾塔求移動次數公式為f(n+1)=f(n)*2+1;
//此題如果用要求十進制最后六位，f(n+1)=(f(n)*2+1)%100000;
#include<stdio.h>
int num[100007];
int main()
{
int N,m,i;
num[1]=1; //m=1的情況
for(i=2;i<100006;i++)
num[i]=(2*num[i-1]+1)%1000000;
scanf("%d",&N);
while(N--)
{
scanf("%d",&m);
if(m>100005) //這種情況下標對1000000取余
{
if(m%100000<6)
m=100000+m%10;
else
m%=100000;
}
printf("%d\n",num[m]);
}
return 0;
}
快速冪這個東西比較好理解，但實現起來到不老好辦，記了幾次老是忘，今天把它系統的總結一下防止忘記。
首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,按照朴素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間復雜度是O(b)也即是O(n)級別，快速冪能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：
假設我們要求ab，那么其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權為2(i-1)，例如當b==11時
a11=a(20+21+2^3)
11的二進制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我們將a¹¹轉化為算 a20*a21a2^3，也就是a1a2*a8 ，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次，但是這三項貌似不好求的樣子....不急，下面會有詳細解釋。
由於是二進制，很自然地想到用位運算這個強大的工具：&和>>
&運算通常用於二進制取位操作，例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還可以判斷奇偶x&10為偶，x&11為奇。
運算比較單純,二進制去掉最后一位，不多說了，先放代碼再解釋。
復制代碼
1 int poww(int a, int b) {
2 int ans = 1, base = a;
3 while (b != 0) {
4 if (b & 1 != 0)
5 ans *= base;
6 base *= base;
7 b >>= 1;
8 }
9 return ans;
10 }
復制代碼
代碼很短，死記也可行，但最好還是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11為例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a(20)a(21)a(23)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。
其中要理解base=base這一步：因為 basebasebase2，下一步再乘，就是base2*base2base4，然后同理 base4base4=base8，由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指數正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a1a2*a8，這三項就可以完美解決了，快速冪就是這樣。
順便啰嗦一句，由於指數函數是爆炸增長的函數，所以很有可能會爆掉int的范圍，根據題意選擇 long long還是mod某個數自己看着辦。
矩陣快速冪也是這個道理，下面放一個求斐波那契數列的矩陣快速冪模板
復制代碼
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 #include<algorithm>
6 using namespace std;
7 const int mod = 10000;
8 const int maxn = 35;
9 int N;
10 struct Matrix {
11 int mat[maxn][maxn];
12 int x, y;
13 Matrix() {
14 memset(mat, 0, sizeof(mat));
15 for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1;
16 }
17 };
18 inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) {
19 memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
20 c.x = a.x; c.y = b.y;
21 for (int i = 1; i <= c.x; i++) {
22 for (int j = 1; j <= c.y; j++) {
23 for (int k = 1; k <= a.y; k++) {
24 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
25 c.mat[i][j] %= mod;
26 }
27 }
28 }
29 return ;
30 }
31 inline void mat_pow(Matrix &a, int z) {
32 Matrix ans, base = a;
33 ans.x = a.x; ans.y = a.y;
34 while (z) {
35 if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans);
36 mat_mul(base, base, base);
37 z >>= 1;
38 }
39 a = ans;
40 }
41 int main() {
42 while (cin >> N) {
43 switch (N) {
44 case -1: return 0;
45 case 0: cout << "0" << endl; continue;
46 case 1: cout << "1" << endl; continue;
47 case 2: cout << "1" << endl; continue;
48 }
49 Matrix A, B;
50 A.x = 2; A.y = 2;
51 A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1;
52 A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0;
53 B.x = 2; B.y = 1;
54 B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1;
55 mat_pow(A, N - 1);
56 mat_mul(A, B, B);
57 cout << B.mat[1][1] << endl;
58 }
59 return 0;
60 }