前言
\(MillerRabin\)素數測試是一種很實用的素數判定方法。
它只針對單個數字進行判定，因而可以對較大的乃至於\(long\ long\)范圍內的數進行判定，而且速度也很快，是個十分優秀的算法。
前置定理
- 費馬小定理：\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)（詳見此博客：費馬小定理）
- 二次探測定理：若\(p\)為奇素數且\(x^2\equiv1(mod\ p)\)，則\(x\equiv1(mod\ p)\)或\(x\equiv p-1(mod\ p)\)。
大致思路
假設我們要驗證\(x\)是否為素數，則我們應先找一個質數\(p\)來對其進行測試（\(p\)可以選取多個依次進行測試，只要有一個不滿足就可以確定其不是質數）。
首先，我們先判斷如果\(x=p\)，則\(x\)必為質數（因為\(p\)為質數）。如果\(x\)是\(p\)的倍數，則\(x\)必為合數。
然后，由於費馬小定理，我們先測試\(p^{x-1}\%x\)是否等於\(1\)，如果不是，則它必然不是質數（這一步也叫作費馬測試）。
否則，我們根據二次探測定理，先用一個\(k\)記錄下\(x-1\)，然后只要\(k\)為偶數就持續操作：
- 先將\(k\)除以\(2\)，然后用一個\(t\)記錄下\(p^k\%x\)的值。
- 如果\(t\)不等於\(1\)且不等於\(p-1\)，則根據二次探測定理，\(x\)非質數。
- 如果\(t=p-1\)，則無法繼續套用二次探測定理，因此直接返回\(true\)。
如果一直操作到\(k\)為奇數仍然無法確定\(x\)非質數，就返回\(true\)。
這一過程應該還是比較容易理解的。
代碼
class MillerRabin\\MR測試
{
private:
#define Pcnt 10
Con int P[Pcnt]={2,3,5,7,11,13,19,61,2333,24251};//用於測試的質數
I int Qpow(RI x,RI y,CI X) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}//快速冪
I bool Check(CI x,CI p)//測試
{
if(!(x%P[i])||Qpow(p%x,x-1,x)^1) return false;//判斷x是否為p的倍數，然后費馬測試
RI k=x-1,t;W(!(k&1))//持續操作直至k為奇數
{
if((t=Qpow(p%x,k>>=1,x))^1&&t^(x-1)) return false;//如果p^k不是1也不是-1，說明x不是質數
if(!(t^(x-1))) return true;//如果p^k已為-1，無法用二次探測定理，因此返回true
}return true;
}
public:
I bool IsPrime(CI x)//判斷一個數是否為質數
{
if(x<2) return false;
for(RI i=0;i^Pcnt;++i) {if(!(x^P[i])) return true;if(!Check(x,P[i])) return false;}//枚舉質數進行測試
return true;
}
}MR;