There is a special square room with mirrors on each of the four walls. Except for the southwest corner, there are receptors on each of the remaining corners, numbered `0`, `1`, and `2`.
The square room has walls of length p, and a laser ray from the southwest corner first meets the east wall at a distance q from the 0th receptor.
Return the number of the receptor that the ray meets first. (It is guaranteed that the ray will meet a receptor eventually.)
Example 1:
Input: p = 2, q = 1
Output: 2
Explanation: The ray meets receptor 2 the first time it gets reflected back to the left wall.
Note:
1 <= p <= 10000 <= q <= p
這道題給了我們一個正方形的房間，說是四面都是鏡子牆，然后在西南角有一個激光發射器，其余三個角都有接收裝置，問我們最終激光會被哪個接收器接收。第一次讀題時這句 "Return the number of the receptor that the ray meets first." 讓博主理解錯誤了，以為是讓返回接收器的個數，以為接收器也能反射激光到其對角的接收器，那么接收器2和0互相反射，就是返回經過了2個接收器，接收器1返回到反射點，就是返回經過了1個接收點，想的是一套一套的，結果人家讓返回的是接收器的標號，個人覺得將 number 改為 index 會減少些歧義。無所謂了，反正最終搞懂了題意就行了。其實這道題的正確解法還挺難想的，因為大家很容易走進的誤區就是研究反射角啥的，然后算具體反射到了哪一個位置，再算下一個位置，其實這樣都將題目變復雜了。博主把這一類型歸為腦筋急轉彎 Brain Teaser，一般都有很巧妙的數學解法，並不需要太復雜的算法。
首先從最簡單的情況開始分析，當p和q相等的時候，那么激光直接到達接收器1，當 p/q = 2 的時候，就如例子中所示，經過右邊的鏡面反射后到達左上角的接受器2。那么我們再來考慮下這三種情況 p/q = 3, p/q = 4, p/q = 3/2，並畫出折射情況如下所示：
這里就有些比較好玩的規律了，我們知道激光遇到鏡面是會發生折射的，但是假如沒有鏡面，就會仍然沿直線前進，那么對於 p/q = 3 時，若我們在右邊增加大小相同的2個房間，則激光會到達右上角，由於第二個房間和原始房間是鏡面對稱的，而第三個房間和第二個房間也是鏡面對稱的，則第三個房間和原始房間就是一樣的了，那么就可以假設一下，奇數房間和原始房間的布局相同。再來看上圖中的 p/q = 4 時，我們在右邊復制了三個房間，在第四個房間的時候，激光到達了右上角，而第偶數個房間的布局是跟原始房間稱鏡面反射的，則就是接受器2了。其實有些時候，我們不止要在右邊復制房間，還需要在上面復制房間，比如當 p/q = 3/2 時，我們需要復制出一個 2x3 大小的矩陣出來，在水平方向共有三個房間，是奇數則水平方向和原始房間布局一致，但是豎直方向也復制了房間，那么豎直方向有偶數個房間，則豎直方向和原始房間成鏡面反射，則最右上角為接收器0。
分析到這里，我們應該已經能總結出規律如下了：
- p為奇數，q為奇數時，到達接收器1。
- p為奇數，q為偶數時，到達接收器0。
- p為偶數，q為奇數時，到達接收器2。
那你可能會有疑問了，為啥沒有p和q均為偶數的情況呢？比如 p = 4, q = 2，其實只要我們畫個圖就知道，這個跟 p = 2, q = 1 的情況是一摸一樣的，若p和q均為偶數，那么那么一定可以同時除以2，那么其實我們可以先對p和q進行判斷，若二者同為偶數，則同時除以2，直到不同時為偶數時，然后再帶入上面歸納的三種情況求解即可，參見代碼如下：
解法一：
class Solution {
public:
int mirrorReflection(int p, int q) {
while (p % 2 == 0 && q % 2 == 0) {
p /= 2; q /= 2;
}
if (p % 2 == 0) return 2;
if (q % 2 == 0) return 0;
return 1;
}
};
其實我們可以進一步化簡，將三種情況融為一個表達式即可，即 1 - p%2 + q%2，不信的話可以帶數字驗證一下，碉堡了有木有，參見代碼如下：
解法二：
class Solution {
public:
int mirrorReflection(int p, int q) {
while (p % 2 == 0 && q % 2 == 0) {
p /= 2; q /= 2;
}
return 1 - p % 2 + q % 2;
}
};
其實不光是p和q同時為偶數的時候可以化簡，只要p和q的最大公約數 Greatest Common Divisor 大於1時，都可以化簡，比如，若 p = 6, q = 3 時跟 p = 2, q = 1 的情況也是一樣，那我們就可以先求出p和q的最大公約數，然后用p和q分別除以這個最大公約數，再帶入上面的那個一行公式求解即可，參見代碼如下：
解法三：
class Solution {
public:
int mirrorReflection(int p, int q) {
return 1 - p / gcd(p, q) % 2 + q / gcd(p, q) % 2;
}
int gcd(int p, int q) {
return q ? gcd(q, p % q) : p;
}
};
Github 同步地址:
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/858
參考資料：
https://leetcode.com/problems/mirror-reflection/
[LeetCode All in One 題目講解匯總(持續更新中...)](https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4606334.html)