- 稀疏矩陣的定義：
具有少量非零項的矩陣（在矩陣中，若數值0的元素數目遠多於非0元素的數目，並且非0元素分布沒有規律時，）則稱該矩陣為稀疏矩陣；相反，為稠密矩陣。非零元素的總數比上矩陣所有元素的總數為矩陣的稠密度。
稀疏矩陣的兩個動機：稀疏矩陣通常具有很大的維度，有時甚大到整個矩陣（零元素）與可用內存不想適應；另一個動機是避免零矩陣元素的運算具有更好的性能。
- 稀疏矩陣的格式
存儲矩陣的一般方法是采用二維數組，其優點是可以隨機地訪問每一個元素，因而能夠容易實現矩陣的各種運算。對於稀疏矩陣，采用二維數組的存儲方法既浪費大量的存儲單元來存放零元素，又要在運算中浪費大量的時間來進行零元素的無效運算。因此必須考慮對稀疏矩陣進行壓縮存儲（只存儲非零元素）。
Scipy.sparse模塊提供了許多來自於稀疏矩陣的不同存儲格式。這里僅描述最為重要的格式CSR、CSC和LIL。CSR、CSC是用於矩陣-矩陣和矩陣-向量運算的有效格式，LIL格式用於生成和更改稀疏矩陣。Python不能自動創建稀疏矩陣，所以要用scipy中特殊的命令來得到稀疏矩陣。
(1) 壓縮稀疏行（CSR，Compressed Sparse Row）：或csr_matrix 按行對矩陣進行壓縮的。
CSR使用了三個數組，分別為數值、行偏移（表示某一行的第一個元素在數值里面的起始偏移位置，在行偏移的最后補上矩陣總的元素個數）、列號。CSR是一種編碼的方式
一維數組data（數值）:有序地存儲了所有的非零值，它具有與非零元素同樣多數量的元素，通常由變量nnz表示。
一維數組indptr（行偏移量）：包含了證書使得indptr[i]是data中元素的索引，它是行i中的第一個非零元素。如果整個行i為零，則indptr[i]==indptr[i+1]
如初始矩陣有m行，則len(indptr)==m+1
一維數組Indices（列號:）: 其使用如下方式包含列索引信息:indices[indptr[i]:indptr[i+1]]是一個具有行i中非零元素的列索引的整數數組。Len(indice)==len(data)==nnz
備注：列索引表示數值所在的列號，從0開始。
數組data：包含矩陣中的非零元素，以行優先的形式保存。
行偏移：CSR中行索引被壓縮，沒有行索引，這里用行偏移表示行索引。
實例：
如上圖所示：data=(1,7,2,8,5,3,9,6,4)
Indices=(0,1,1,2,0,2,3,1,3) #列索引
Indptr=(0,2,4,7,9) #行偏移（表示某一行的第一個元素在數值里面的起始偏移位置，在行偏移的最后補上矩陣總的元素個數）
在Python中使用：
import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix
indptr = np.array([0, 2, 3, 6])
indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])
data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
A=csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)).toarray() #生成CSR格式的矩陣
print(A) #運行結果：
[[1 0 2]
[0 0 3]
[4 5 6]]
解析：第i行的列索引存儲在indices[indptr[i]:indptr[i+1]]中,對應的值為data[indptr[i]:indptr[i+1]]。即例如第0行的列索引為indices[0:2]=[0,2]（第i行中非零元素的列索引組成的整數數組）,值為data[0:2]=[1,2];第1行的列索引為indices[2:3]=[2],值為data[2:3]=[3]…
(2) 稀疏列矩陣CSC（Compressed Sparse Column）,用於CSC格式的類型為：csc_matrix 按列對矩陣進行壓縮的。
與CSR格式相比唯一的不同點是indptr和indices數組的定義，該定義與列有關。
CSC格式的實例：
import numpy as np
import scipy.sparse as sp
A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])
AS=sp.csc_matrix(A)
Print(AS)
print(AS.data)
print(AS.indptr)
print(AS.indices)
print(AS.nnz) #運行結果：
[1 3 1 2 4]
[0 3 3 4 5] #注意此處，同一矩陣CSR格式的indptr為[0 2 2 3 5]
[0 2 3 0 3]
5
(3) 基於行的鏈表格式：LIL（Row-Based Linked List Format）
1. 鏈表稀疏格式在列表數據中以行方式存儲非零元素，
列表data: data[k]是行k中的非零元素的列表。如果該行中的所有元素都為0，則它包含一個空列表。
列表rows: 是在位置k包含了在行k中的非零元素列索引列表。
LIL格式的同一示例：
import numpy as np
import scipy.sparse as sp
A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])
AS=sp.lil_matrix(A)
print(AS.data)
print(AS.rows)
print(AS.nnz) #運行結果：
[list([1, 2]) list([]) list([3]) list([1, 4])]
[list([0, 2]) list([]) list([0]) list([0, 3])]
5
2. 用LIL格式更改和切割矩陣：
LIL格式最適合切片的方法，即以LIL格式提取子矩陣，並通過插入非零元素來改變稀疏模式。
例如：提取
import numpy as np
import scipy.sparse as sp
A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])
AS=sp.lil_matrix(A)
print(AS)
BS=AS[0:2,0:3] #切片提取0，1行，0，1，2列組成的子矩陣
print(BS)
print(BS.data)
print(BS.rows)
#運行結果：
(0, 0) 1
(0, 2) 2
[list([1, 2]) list([])]
[list([0, 2]) list([])]
更改：插入新的非零元素會自動更新屬性
AS[0,1]=17
print(AS.data)
print(AS.rows)
print(AS.nnz)
#結果： [list([1, 17, 2]) list([]) list([3]) list([1, 4])]
[list([0, 1, 2]) list([]) list([0]) list([0, 3])]
6
- 生成稀疏矩陣：
Numpy包的命令eye、identity、diag和rand都有其對應的稀疏矩陣，這些命令需要額外的參數來指定所得矩陣的稀疏矩陣格式。
import numpy as np
import scipy.sparse as sp
print(sp.eye(20,20,format = 'lil'))
print(sp.spdiags(np.ones((20,)),0,20,20,format = 'csr'))
print(sp.identity(20,format = 'csc'))
print(sp.rand(20,200,density=0.1,format='csr')) #sp.rand命令需要額外的參數來描述生成隨機矩陣的密度。
- 稀疏矩陣方法
將稀疏矩陣類型轉換為另一種類型和數據或數組的方法：
AS.toarray #轉換稀疏矩陣類型為數組
AS.tocsr
AS.tocsc
AS.tolil
#通過issparse、isspmatrix_lil、isspmatrix_csc、isspmatrix_csr等方法檢查稀疏矩陣的類型。
import numpy as np
import scipy.sparse as sp
A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])
def sparse_sin(A):
if not (sp.isspmatrix_csr(A) or sp.isspmatrix_csc(A)):
A=A.tocsr()
A.data=sin(A.data)
return(A)
B=sparse_sin(A)
print(B)
#稀疏矩陣方法的dot，用於矩陣-矩陣或者矩陣-向量乘法運算，返回csr_matrix或Numpy array
例如：import numpy as np
import scipy.sparse as sp
A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])
AS=sp.csr_matrix(A)
b=np.array([1,2,3,4])
c=AS.dot(b) #結果為：[ 7 0 3 17]
print(c)
c=AS.dot(AS) #結果仍為稀疏矩陣
print(c)
d=np.dot(AS,b)
print(d) #不能返回期望的結果