前言
\(prufer\)序列應該是一個比較實用的東西。
據\(hl666\)大佬說，一切與度數有關的樹上計數問題，都可以用它以及它的性質來解決。
而聽說\(ZJOI\)最近特別喜歡出計數題，所以有必要學一學。
轉化\(1\)：從無根樹到\(prufer\)序列
現在，給你一棵樹，我們要考慮如何把它變成\(prufer\)序列。
我們需要重復進行以下操作，直至樹中只剩下兩個點：
- 找到一個度數為\(1\)，且編號最小的點。（其中編號最小保證了后面將會提到的\(prufer\)序列的唯一對應性，同時也方便從\(prufer\)序列轉化回無根樹）
- 把這個點的父親節點加入序列，然后把這個點從樹中刪除。
然后我們就得到了一個長度為\(n-2\)的序列，這就是\(prufer\)序列。
所以它有什么實際意義呢？
我也不知道。
以上面的圖為例，我們可以模擬這一過程如下：
- 找到\(4\)號節點，將其父結點加入序列，然后將其刪去。此時序列：\(\{2\}\)。
- 找到\(5\)號節點，將其父結點加入序列，然后將其刪去。此時序列：\(\{2,3\}\)。
- 找到\(3\)號節點，將其父結點加入序列，然后將其刪去。此時序列：\(\{2,3,1\}\)。
- 找到\(6\)號節點，將其父結點加入序列，然后將其刪去。此時序列：\(\{2,3,1,2\}\)。
- 找到\(2\)號節點，將其父結點加入序列，然后將其刪去。此時序列：\(\{2,3,1,2,1\}\)。
所以，最后得到的\(prufer\)序列就是\(\{2,3,1,2,1\}\)。
轉化\(2\)：從\(prufer\)序列到無根樹
還是以剛才那棵樹為例吧，我們要考慮如何把它的\(prufer\)序列變回它本身。
我們需要重復進行以下操作，直至點集中只剩下兩個點：（初始化所有點都在點集中）
- 取出\(prufer\)序列最前面的元素\(x\)。
- 取出在點集中的、且當前不在\(prufer\)序列中的最小元素\(y\)。（這恰好呼應了前面提到過的選取編號最小的節點）
- 在\(x,y\)之間連接一條邊。（注意前面的取出相當於刪除）
最后，我們在點集中剩下的兩個點中連一條邊。
顯然這有\(n-1\)條邊，且絕對不會形成環，因此它是一棵樹，且就是原樹。
以上面的序列為例，我們可以模擬這一過程如下：
- 取出\(2,4\)連邊。此時\(prufer\)序列：\(\{3,1,2,1\}\)，點集：\(\{1,2,3,5,6,7\}\)。
- 取出\(3,5\)連邊。此時\(prufer\)序列：\(\{1,2,1\}\)，點集：\(\{1,2,3,6,7\}\)。
- 取出\(1,3\)連邊。此時\(prufer\)序列：\(\{2,1\}\)，點集：\(\{1,2,6,7\}\)。
- 取出\(2,6\)連邊。此時\(prufer\)序列：\(\{1\}\)，點集：\(\{1,2,7\}\)。
- 取出\(1,2\)連邊。此時\(prufer\)序列：\(\{\}\)，點集：\(\{1,7\}\)。
最后再在\(1,7\)間連邊，就可以得到原樹了。
\(prufer\)序列的性質及相關結論
講了這么多，我們最關鍵的還是\(prufer\)序列的一些性質，以及與其有關的一些結論。（畢竟前面也提到過，我也不知道這東西有什么實際意義）
-
重要性質：\(prufer\)序列與無根樹一一對應。
這應該顯然吧，通過前面的介紹應該可以直接得出。
而由這個性質，我們才能推導出后面的結論。
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度數為\(d_i\)的節點會在\(prufer\)序列中出現\(d_i-1\)次。
當某個節點度數為\(1\)時，會直接被刪掉，否則每少掉一個相鄰的節點，它就會在序列中出現\(1\)次。
因此共出現\(d_i-1\)次。
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一個\(n\)個節點的完全圖的生成樹個數為\(n^{n-2}\)。
對於一個\(n\)個點的無根樹，它的\(prufer\)序列長為\(n-2\)，而每個位置有\(n\)種可能性，因此可能的\(prufer\)序列有\(n^{n-2}\)種。
又由於\(prufer\)序列與無根樹一一對應，因此生成樹個數應與\(prufer\)序列種樹相同，即\(n^{n-2}\)。
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對於給定度數為\(d_{1\sim n}\)的一棵無根樹共有\(\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}\)種情況。
由上面的性質可以知道，度數為\(d_i\)的節點會在\(prufer\)序列中出現\(d_i-1\)次。
則就是要求出\(d_i-1\)個\(i(1\le i\le n)\)的全排列個數。
而上面那個式子就是可重全排列公式。（即全排列個數除以重復元素內部的全排列個數）
大致就是這些。
例題
下面有兩道例題：【洛谷2290】[HNOI2004] 樹的計數和【洛谷2624】[HNOI2008] 明明的煩惱。
實際上，這兩道題都只用了由\(prufer\)序列所推導得到的結論，而沒有真正構造\(prufer\)序列，應該也不算特別好的例題。。。